Предел.переход. И арифмет. Операц

Арифмет. Операц. Определение 3. Если {x_n}, {y_n} - две числовые последовательности,то их суммой,произведением и частным называются соответственно последовательности {x_n + y_n}, {x_ny_n}, {x_n/y_n} (при делении предполагается, что все членыпоследовательности {y_n} отличны то нуля).

Теорема 2. Если последовательности {x_n}, {y_n} сходятся и _n=aи _n=bто, а) _n y_n= _{n n}=a б) _n=c _n=c*a, c \{0} в) _ny_n= _{n n}=a*b г) = _n\ _n=a\b

Доказательство. Докажем случай г). Имеем. _n=a

⇔ ∀ε> 0 ∃N₁∈N:∀n>N₁⇒ |x_n − a| <εи _n=b⇔∀ε> 0 ∃N₂∈N: ∀n>N₂ ⇒ |y_n − b| <ε. Посколькуb 0, то∃δ> 0 ∃N₃∈N: ∀n>N₃⇒ |y_n| >δ> 0. Пусть N = max{N₁,N₂,N₃}. Тогда имеем

Если называют неопределенностью вида .. Для вычисления такого предела теорема 2неприменима. Вычисление пределов для неопределенных выражений вида 1 ^∞, ∞−∞, 0 ·∞ называют раскрытиемсоответствующих неопределенностей.