Означений інтеграл зі змінною верхнею межею, його властивості. Існування первісої для неперер ф-й. Ф-ла Ньютона-Лейбніца

Озн. Нехай ф-я інтегровна на , тоді вона інтегровна і на і значить . Можна розглянути ф-ю - цю ф-ю наз. інтегралом із зміною верхнею межею.

Теор1. (основна теор інтегрального числення). Якщо ф-я інтегровна на , то ф-я неперервна на , якщо ж ф-я неперервна в т. і в деякому її околі, то ф-я диф. в т. і . .

Дов. І. Треба показати, що вона неперервна в т. . А для цього треба показати, що її .Розглянемо . Оскільки інтегровна на , то вона обмежена цьому відрізку і значить . Тоді за теоремою за теор про проміжки значення - ф-я неперервна.

ІІ. Дано неперервна. Д-ти диференц. За теор. про середнє │ між та , що│ , тоді (2). Оскільк. Ф-я неперервна в т. , то при , т. (бо воно між ними), а ф-я неперер. то , отже в правій частині (2) . Тому і з ліва при і вона = . Таким чином, ф-я диференційовна і при чому . Т.д.

Наслідок.1. Якщо ф-я неперервна на , то вона має первісну на цьому відрізку і сукупність всіх неперервних задається ф-лою (3).

Дов. Справді із неперервності ф-ї на за теор.1 (ІІ частин.)ф-я є диференц. На , при чому . Це і означає, що ф-я є неперервною для . А тоді сукупність всіх неперервних задається формулою (3).

Наслідок.2. (ф-ла Н-Л) Якщо ф-я неперервна на , то де первісна ф-ї .

Справді, згідно Н.1. для ф-ї первісні на і множ. Всіх первісних зад формулою (3), підставимо в (3) , маємо: .

Тоді (3) запишемо так: .