Застос визн інтегр до обч тіл обертання та площ поверхонь обертання

Озн. Довільну обмежену множину точок в просторі будемо наз. тілом. При цьому під обмеженою множиною точок простору будемо розуміти множину, яка повністю міститься в деякому крузі в центрі початку координат.

Важливо, що кожен многогр має . Щоб підійти до пон дов тіла розгл усі довільні многогр вписані в це тіло та описані навколо нього.

то - об’єм тіла, а тіло наз кубовним.

Т. Тіло є кубовним тоді і тільки тоді, коли послід і , таких що

Т. Нех тіло обмеж і задов умови:

1) площі попереч перерізів тіла площ є непер ф-єю на , де і відпов найб і найменше з абсцис точки .

2) проекції вказаних перерізів на пл при різних включ одна в одну, тобто їх контури або змінюються або включ один в другий.

Тоді тіло - кубовне, об’єм його можна обч за ф-лою: (1).

Д. Утв дов поділ

Оск , досягають в деяких точках від . Розгл інтеграл суми Дарбу

Оск непер, то інтегр на , при чому (2). Зауважимо тепер, що добуток деякого циліндра вписаного в тіло , що відпов відр , тоді вся (3) деякого тіла, що є об’єднанням циліндрів вписаних в окремі шари цього тіла. Отже, є об’ємами деяких кубовних тіл вписаних в тіло . В наслідок умови (2) теореми всі циліндри, які розгл справді вписані в . Аналогічно верхні суми Дарбу є об’ємами деяких кубовних тіл, що описані навколо тіла і тоді р-сть (3) означає, що послідов кубовних тіл вписаних в тіло і послід куб тіл описаних навколо , для -му яких викор р-сть (3). Тоді згідно з критер кубовності, тіло кубовне і його об’єм = інтегралу (1). Теор дов. Н. Якщо тіло одерж оберт навколо осі криволін трапеції, обмеженої зверху графіком невід’ємної і непер ф-ї на , то воно кубовне і об’єм його можна обч за ф-ю: Дійсно, в цьому випадку переріз цього тіла площ являє круг радіусом якого є . Тоді . Оск ф-я непер, то - неп оск дане тіло є тілом обертання, то попер перерізи задов 1-у і 2-у умови попер теор. Тому за теор дане тіло кубов і Озн. Нех ф-я задана на , утв поділ і на графіку цієї ф-ї розгл точку з коорд . Сусідні точки сполуч між собою відріз, внаслідок чого отрим ламану, вписану в графік цієї ф-ї. Разом з графіком навколо оберт і ця ламана, кожна ланка ламаної описує бічну поверхню зрізаного конуса, тоді при обертані ламаної одерж поверхню, яка є об’єднаням таких бічних поверхонь зрізаних конусів, тому площа цієї пов: , де - ребро.Якщо , то поверхню отриману при оберт графіка ф-ї наз квадровною, а саму наз площою цієї поверхні.

Т. Якщо поверхня одерж обертанням графіка невід’ємної і непер диф на навколо то ця поверхня квадровна і площа її знаход за ф-ою: .