Поняття кривої. Спрямлювані криві та їх довжини. Теорема Жордана. Обч. довжини дуги при допомозі озн. інтеграла

Озн. неперервною кривою на координатній площині наз мн.точок цієї площ., координати яких є неперервними ф-ями деякого параметра . Це параметрично задана крива, яку уявляють як впорядковану сукупність точок в напрямі від поч. точки до кінцевої. Неперервна крива наз. Жордановою якщо вона не має точок самоперетину, тобто: за винятком хіба що початкових і кінцевих точок. Озн. жорданова крива наз. гладкою, якщо вона задається р-нням(1), в яких ф-ї мають неперервні похідні, що одночасно не = нулю. Якщо крива замкнена, то і . Крива , яка задається рівністю (1)наз. спрямлюваною, якщо множина довжин всіх ламаних , вписаних в цю криву, які відповідають всім можливим поділам , обмежені в сукупності, тобто . При цьому число , де наз довжиною кривої . Якщо ж довжини ламаних не обмежені в сукупності, то криву наз. не спрямованою і її довжина = . Теор.1. (Жордана). Неперервна крива , яка задається рівністю (1) є спрямлюваною т. і т.т., коли ф-ї є ф-ями обмеженої варіації.

Озн. Задана на ф-я наз ф-єю обмеженої варіації на , якщо

Дов. Необхідність: Дано - спрямлювальна. Д-ти: мають обмежену варіацію,за означенням спрямл. кривої або при . Це означає, що є ф-ями обмеж. варіації.

Достатність: Дано: є ф-ї обмеж. варіації. Д-ти: - спрямлювальна. Вірною є рівність: . . Тоді для маємо: . Довжини ламаних обмежені, тому крива - спрямлювальна.

Озн. Неперервна пряма , яка задається рівністю (1) наз. спрямлюваною, якщо скінчена границя , де -сукупність всеможливих поділів , і -довжини ламанихвписаних в криву , що відповідають цим поділам. При цьому число наз. довжиною .

Теорем. Всяка гладка крива , що задається рівністю (1), є спрямлюваною і її довжина може бути обчислена за ф-лою. .

Н.1. Якщо крива задається явним р-ням має непер. похідну на , то ця крива спрямлювана і обчислюється за ф-лою .

Н.2. Якщо крива задається полярним р-нням і ф-я має неперер. похідну на і , то крива прямлювана, а її довжина обчисл. за ф-лою .