Опуклість, вгнутість та точки перегину графіка ф-ї

Озн. Кажуть, що графік ф-ї на і одночасно сама ф-я на цьому відрізку є опуклими вниз, якщо якщо графік ф-ї розташований вище дотичної до чього графіка в точці за абсцисою . І опуклий в гору якщо розташування зворотнє.

з. Т. на точкою перегину графіка ф-ї (або самою ф-ї) якщо існує такий окол цієї точки в лівій частині якого напрям опуклості протилежний до напрямку опуклості в правій його половині.

Т.1. якщо ф-я задана на двічі диференційована на , то коли , ф-я - опукла вниз, якщо , то опукла вгору.

Дов.

Взяли х0, нам потрібно показати, що . . Т.д.

Теор. (Необхідна умова т. перегину) Якщо в деякому околі т. ф-я має другу похідну, яка є неперервною в самій точці і т. є точкою перегину цієї ф-ї то .

Доведення. Доведення від супротивного . . Оскільки неперервна в точці , то окіл цієї точки для всіх т. якого . Тоді в лівому і правому околі т. ф-я опукла вниз і значить т. не є т. перегину, що суперечить умові теореми..Т.д.

Теор.( достатня умова т. перегину). Якщо в т. друга похідна=0 і при переході через т. друга похідна змінює свій знак з "+" на"-", або з"-" на"+", то т. є т. перегину ф-ї .