Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Поняття площі плоскої фігури. Квадрові фігури, застосування означеного інтеграла



Озн. Довільну обмежену множинну точок площини наз. плоскою фігурою, при цьому під обмеженою будемо розуміти множину, яка повністю міститься в деякому крузі в центрі початку координат.

Будемо вважати що кожен многокутник має площу. Фігура що має площу-

квадровна. Властивості площі квадровних фігур: 1. Невід’ємна (площа квадровної фігури є невід’ємною). 2. Адетивність (площа квадровної фігури, що є об’єднанням 2 неперервних квадровних фігур = сумі їх площ).

3. інваріантність (площа 2 рівних квадровних фігур рівні між собою). 4. Монотонність (якщо квадровна фігура К1 включається в квадровну фігуру К2, то S(К1)≤ S(К2)).

Т.(1критерій квадровності плоскої фігури). Для того, щоб плоска фігура G була квадровною н. і д., щоб (для будь-якого >0) існували клітинні фігури (клітинною фігурою будемо наз. плоску фігуру, яку можна подати у вигляді об’єднання скінченного числа попарно неперетинних прямокутників) А’, В’, такі, що А’ включаєт. G вкл. В’ і S(В’)-S(А’)< .

Т.(2 критерій квадровності плоскої фігури). Для того, щоб плоска фігура G була квадровною н. і д., щоб (для будь-якого >0) існували квадрові плоскі фігури P<G<R, і S(R)-S(P)< .

Розглянемо всі вписані і описані многокутники . Кожний многокутник має площу маємо . . Множина обмежена з верху площиною тому вона має . нижня площа ф-ри 0. Оскільки за озн. є найменша зверху межа мн. , а - довільна верхня межа, то множина обмежена знизу числом , тому множ. і цей є . У випадку коли фігура наз. квад подібною. А число S- називають її площею.

Теор. Плоска фігура є квадровною т. і т.т., коли послідовність многокутників і і таких що і і вони рівні між собою. При цьому спільне значення цих = площі фігури .

Теор. Якщо ф-я невід’ємна і неперервна на , то криволінійна трапеція, яка обмежена з верху графіком цієї ф-ї є квадровною. І площа її обчислюється за ф-лою: .

Дов. Утвор дов. подін розглянемо суми Дарбу для цього поділу оскільки ф-я неперервна на , то вона но цьому відрізку також неперервна. І за критерієм інтегровності (1).

Геометрично являє собою площу деякої східчастої фігури, яка є многокутною вписаної в трапецію . Аналогічно площа східчастої фігури, тобто многокутника описаного навколо . Рівність (1) тоді буде означати, що площ східчастої фігури вписаних і описаних навколо , вони= інтегр. (1). Виберемо послідовний поділ , так що , тоді отримаємо послідовність многокутників вписаних і описаних навколо , які відповідають інтегральним сумам . Значить існує послідовність многокутників і і таких що на підставі рівності (1) при ,тоді за критерієм квадровності це і означає, що криволінійна трапеція квадровна і її площа= інтегралу (1). Т.д.(теор. довед.)





Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 2132 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.006 с)...