Означений інтеграл. Необхідна умова інтегрованості функцій. Критерій інтегровності. Інтегровн. неперерв. функції

Озн1. Сукупність точок виду наз. розбиттям сегмента і позначається буквою . .

Озн2. Нехай - довільне розбиття сегмента . Сегменти , будемо називати відрізками розбиття, а число де , будемо називати діаметром розбиття .

Озн3. Нехай – ф-ція задана на сегменті , - довільне розбиття цього сегменту. Виберемо довільним чином точки із сегм. розбиття. Суму виду

називають інтегральною сумою, складеною для функції , що відповідє розбиттю сегмента , та вибору точок із відрізків розбиття.

Озн4. Число називають границею інтегральних сум при умові що якщо

Озн5. Якщо існує скінченна границя інтегральних сум при умові, що , то функцію називають інтегрованою на сегменті , а значення цієї границі називають визначеним інтегралом і позначають: .

Таким чином: . Таким чином число називають визначеним інтегралом, якщо:

для .

Теор. (необхідна умова інтегровності). Якщо функція інтегровна на сегменті , то вона обмежена на сегменті.

Заув. що обернена теорема невірна, не кожна обмеж ф-я є інтегровна. Н-д для ф-ї Діріхле . Gозначимо через . .Позначимо через - нижня і верхня інт. Суми Дарбу. Очевидно .

Теор. (критерій). Для того щоб обмежена на сегменті функція була інтегрованою на цьому сегменті необхідно і досить щоб .

Насл. Для того щоб обмежена на сегм. функція була інтегрованою на цьому сегменті необхідно і досить щоб

Теор. Всяка неперервна на сегменті функція є інтегрованою на цьому сегменті.

Теор. Всяка монотонна на сегменті функція є інтегрованою на цьому сегменті.