Т.2 (перша достатня умова екстремуму ф-ії)

Нехай ф-ія диференційовна в деякому околі т. в якій вона є неперервною. Якщо при переході через т. похідна ф-ії змінює свій знак, то точка буде токою екстремуму і більще того т. буде точкою мінімуму, якщо похідна буде змінювати знак з «-» на «+» і точкою максимуму, якщо похідна змінюватиме знак з «+» на «-».

Доведенння

Нехай наприклад при переході через точку похідна ф-ії змінює знак з «+» на «-», тоді існує такий окіл, що . З першого співвідношення виникає, що ф-ія , .

Якщо ж вибир.

пр. . А це означає, що є точкою максимуму.

Т.2 (друга достатня умова). Нехай ф-ія не диференційовна в деякому околі т. , а в самій т. , крім того, ф-ія має похіднк 2-го порядку. Тоді якщо , то т. буде точкою мінімуму. Якщо , то т. буде точкою мінімуму максимуму.

Доведення

Нехай

.

За теоремою про перехід до гарниці ф-ії в нерівностях робимо висновок, якщо . Отже, при переході через точку похідна змінює знак з «-» на «+», а це означає, що точка точкою мінімуму.