Основні правила диференціювання функцій

Теорема 1.(про похідну суми та різниці двох функцій). Якщо y=f₁(x), y=f₂(x) диференційовані в т. x₀, то в цій т. диференційованими будуть функції y=(f₁ ± f₂)(x) і більше того має місце рівність (f₁ ± f₂)′(x₀)=f₁′(x₀)± f₂′(x₀).

Доведення: Введемо до розгляду функцію F(x)=(f₁ + f₂)(x).

1. Беремо в т. x₀ надаємо приросту Δ x, x₀+ Δ x є D(F)=D(f₁)∩D(f₂)

2. Шукаємо приріст Δ F(x)=(f₁ ± f₂) (x₀+ Δ x) – (f₁ ± f₂) (x₀)=(f₁(x₀+ Δ x) ± f₂ (x₀+ Δ x)) – (f₁ (x₀) ± f₂ (x₀))=(f₁ (x₀+ Δ x) – f₁ (x₀)) ± (f₂ (x₀+ Δ x) – f₂ (x₀)) =Δ f₁(x₀) ± Δ f₂(x₀)

3.

4.

Звідси робимо висновок:

Теорема 2. (похідна добутку). Нехай функція y=f₁(x), y=f₂(x) – диференційована в т. x₀, тоді диференційована в т. x₀ буде функція y=f₁*f₂(x) і більше того .

Теорема 3. (похідна частки). Нехай функція y=f₁(x), y=f₂(x) – диференційовані в т. x₀, f₂(x₀)≠0, тоді диференційована в т. x₀ і більше того ;

Теорема 4.(про похідну складеної функції). Нехай y=f(φ(x)) – складена функція, u= φ(x) – диференційована в т. x₀, а функція y=f(u) – диференційована у відповідній точці u₀=φ(x₀), тоді складена функція y=f(φ(x)) буде диференційована. в т. x₀ і її похідна в цій точці буде дорівнювати похідній функції в т. u₀ (зовнішньої ф-ії) на похідній функції φ (внутрішньої ф-ії) в т. x₀

;

Теорема 5.(про похідну оберненої функції). Нехай y=f(x) – неперервна і строго монотонна функція диференційована в т. x₀ і f′(x₀)≠0, тоді в деякому околі т. y₀=f(x₀) буде існувати функція x=f^-1(y),яка буде диференційована в т. y₀ і більше того похідна цієї функції в т. y₀

Похідні вищих порядків.

О. Похідною n-го порядку ф-ії y=f(x) в т. назив. похідну 1-го порядку в цій точці від похідної -го порядку і познач. .

Теорема. Нехай ф-ія в деякій точці мають похідні до -го порядку включно, а це довільна стала, тоді в т похідну до n-го порядку включно будуть мати ф-ії і більше того мають місце формули:

1) ;

2) ;

3) – формула Лейбніца.

Диференційовані функції однієї змінної, критерій диференційовності. Диференціал в точці, його геометричний зміст, застосування до наближенихо бчислень. Диференціали вищих порядків.

Нехай функція y=f(x) задана на інтервалі (a;b), x₀ - фіксована точка інтервалу.

Означення 1. Функція y=f(x) називається диференційована в точці x₀, якщо її приріст в цій точці можна подати у вигляді , де A – фіксоване R число, α( Δ x) – н.м.ф. при Δ x→0.

Теорема 1. Для того, щоб функція y=f(x) була диференційована в т. x₀ необхідно і досить, щоб в цій т. x₀ функція мала похідну.

Доведення: необхідність. Нехай функція y=f(x) диференційована в т. x₀, тоді її приріст в цій точці можна подати у вигляді: , де A - число, α( Δ x) - н.м.ф.

З існування останньої границі робимо висновок про існування похідної функції f(x) в т. x₀ крім того f′(x₀)=A.

достатність. Нехай існує ,

За теоремою про зв’язок між функцією, її границею та деякою н.м.ф. з останньої рівності можемо записати , α( Δ x) – н.м.ф., Δ x→0

Звідси, ; A= ;

А це означає, що f(x) диференційована в т. x₀. Т.д.

Зауваження 1. Доведення теореми дозволяє ототожнити поняття диференційованості функції з існуванням в неї похідної.

Зауваження 2. Операцію знаходження похідної в подальшому будемо називати диференціюванням.

Зауваження 3. Функція f(x) називається диференційованою на множині М, якщо вона диференційована в кожні точці цієї множини.

Зауваження 4. Число А, що фігурує в означенні диференційованості функції = , тобто якщо функція диференційована, то її повний приріст подається в такому вигляді .

Теорема 2. Якщо функція y=f(x) диференційована в т. x₀, то вона в цій точці неперервна.