Екстемуми ф-ії. Необхідні умови естемуму. Достатні умови екстремуму

О.1 Т. назив. точкою мінімуму (точкою максимуму) ф-ії , якщо існує окіл, такий що пр. .

Значення ф-ії в точці називається максимумом ф-ії, а значення ф-ії в точці називається мінімумом ф-ії. Точки , називаються точками екстремуму, а максимум і мінімум називається екстремумом ф-ії.

Т.1 (необхідна умова екстремуму ф-ії). Якщо є точкою екстремуму ф-ії і вцій точці існує похідна, то вона дорівнює 0: .

Доведеня

Нехай — точка мінімуму, тоді існує такий , . Точці надамо приросту , пр. , тоді

.

; .

Але в т. ф-ія має похідну, то

.

Теорему доведено.

О.2 Точки, в яких похідні ф-ії =0 називаються стаціонарними(критичними).

З доведеної теореми випливає, що екстемуми ф-ії слід шукати серед стаціонраних точок, якщо ф-ія – диференційовна в усіх точках області визначення.

Зауважимо, що стаціонарні точки можуть і не бути точками екстемуму.