Задачі, що приводять до поняття похідної

Задача про миттєву швидкість матеріальної точки.

Нехай матеріальна точка рухається прямолінійно і нехай задано закон руху матеріальної т. S=S(t) (залежність переміщення від часу).

Поставимо задачу обчислити швидкість матеріальної т. довільний момент часу t, коли матеріальна т. знаходиться в т. M.

Для розв’язання цієї задачі скористаємося поняттям середньої швидкості поряд з моментом часу t розглянемо момент часу t+ Δ t, Δ t>0. Нехай за момент часу Δ t матеріальна т. здійснює переміщення Δ S(t), тоді її середня швидкість протягом цього проміжку часу Δ t буде дорівнювати

Зрозуміло, що чим менше Δ t, тим точніше середня швидкість буде характеризувати швидкість матеріальної точки в момент часу t. А тому природнім є наступне означення.

Означення. Миттєвою швидкістю матеріальної точки в момент часу t називається границя середньої швидкості V_c протягом проміжку часу Δ t при умові, що проміжок часу Δ t→0

З іншого боку, якщо записана вище границя існує, то вона дорівнює S′(t), отже V_M= S′(t). Висновок: миттєва швидкість матеріальної точки в момент часу t дорівнює похідній функції S(t) в цій точці. В цьому полягає механічний зміст поняття похідної.