Означення похідної

Нехай функція y=f(x) задана на інтервалі (a,b). Зафіксуємо т. x₀ цього інтервалу і розглянемо деяку інше т. x з цього інтервалу. Величина Δ x= x -x₀ характеризує відхилення т. x від т. x₀. Її називають приростом аргументу. В т. x₀ будемо надавати приросту такого, що x₀+ Δ є (a,b).

Означення 1. Приростом функції y=f(x) в т. x₀, що відповідає приросту аргументу називають величину Δ f(x₀)= f(x₀+ Δ x)-f(x₀).

Зауважимо, що коли т. x₀ зафіксована, приріст функції є функцією від змінної Δ x.

Означення 2. Скінчена границя приросту функції y=f(x) в т. x₀ до приросту аргументу Δ x при умові Δ x→0 називається похідною функції y=f(x) в т. x₀. Позначається: f′(x₀),

Таким чином, щоб знайти похідну функції за означенням потрібно:

1) В т. x₀ надати приросту, такого що x=x₀+ Δ x є D(f);

2) Δ f(x₀)=f(x₀+ Δ x)-f(x₀);

3) ;

4) .

Означення 3. Правосторонньою похідною функції y=f(x) в т. x₀ називають скінчену границю приросту функції y=f(x) в т. x₀ до приросту аргументу Δ x при умові, що приріст аргументу Δ x →0 (справа) і позначається: .

Означення 4. Лівосторонньою похідною функції y=f(x) в т. x₀ називають скінчену границю приросту функції y=f(x) в т. x₀ до приросту аргументу при умові, що приріст аргументу Δ x →0 (зліва) і позначається: .

Теорема. Для того, щоб функція y=f(x) в т. x₀ мала похідну необхідно і досить, щоб в цій т. x₀ вона мала правосторонню і лівосторонню похідну і вони б були рівні між собою.

Доведення випливає з критерію існування границі функції.