Доказательство. 1Если , то из условия и свойств интеграла получаем

1 Если , то из условия и свойств интеграла получаем

.

Следовательно, функция ограничена сверху. Из 1-го утверждения леммы вытекает, что функция является неубывающей, а из 2-го утверждения этой леммы следует существование предела , т.е. интеграл сходится.

2. Доказательство проведем методом от противного, т.е. предположим, что

интеграл сходится. Тогда из первого утверждения теоремы следует сходимость интеграла . Противоречие. ■

Замечание. Теорема 15.1, останется справедливой, если в ее формулировке заменить промежуток промежутком и несобственные интегралы 1-го рода несобственными интегралами 2-го рода, подынтегральная функция которых неограничена в окрестности точки . ▲