Доказательство. 1.Пусть сначала интеграл от функции сходится

1. Пусть сначала интеграл от функции сходится. Так как существует предел , , то из леммы следует ограниченность функции на некотором промежутке , , т.е. или , если . Из свойства 2 несобственных интегралов и условия теоремы следует, что интеграл сходится. Теперь из теоремы 15.1 вытекает сходимость интеграла , а из свойства 2 несобственных интегралов следует, что интеграл сходится.

2. Пусть интеграл сходится. Из условия теоремы следует, что . Теперь из 1 -го утверждения доказательства теоремы вытекает сходимость интеграла .

3. Пусть интеграл от функции расходится. Докажем, что интеграл от функции расходится методом от противного. Если предположить, что интеграл от функции сходится, то из пункта 2 (1) доказательства теоремы следует сходимость интеграла от функции . Противоречие. ■

Теорема 15.3. Пусть на промежутке функция , а функция и существует предел . Тогда несобственный интегралы и сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство проводится аналогично. ■

Замечание. Использовать 2-й признак сходимости несобственных интегралов можно следующим образом. Надо положить и подобрать так значение , чтобы предел . Затем определить при выбранном значении сходимость интеграла от функции . Из теорем 15.2 и 15.3 следует, что интегралы от функций и сходятся или расходятся одновременно. ▲

Примеры. Исследовать на сходимость следующие интегралы:

15.12. . 15.13. .

15.14. . 15.15. .