Простейшие свойства несобственных интегралов 2-го рода

Если функция интегрируема на промежутке при любом достаточно малом и не ограничена в каждой окрестности точки , то справедливы следующие утверждения.

1. Если — первообразная функции на множестве , то справедлива формула

Доказательство. Применяя формулу Ньютона-Лейбница, имеем

.

2. Интеграл сходится тогда и только тогда, когда для любого числа сходится интеграл , причем справедлива формула

.

3. Если интегралы и сходятся, то интеграл также сходится и справедлива формула

.

Доказательства свойств 2 и 3 аналогичны доказательствам свойств 2 и 3 для несобственных интегралов 1-го рода. ■

Аналогичные свойства справедливы и для других несобственных интегралов 2-го рода.

Задачи

Вычислить интегралы

15.15. . 15.16. . 15.17. . 15.18. . 15.19. .

15.20. . 15.21. . 15.22. . 15.23. .

15.24. . 15.25. . 15.26. . 15.27. .

15.28. . 15.29. . 15.30. . 15.31. .

15.32. . 15.33. .

Ответы

15.15. , если ; расходится, если . 15.16. 1. 15.17. . 15.18. расходится. 15.19. . 15.20. 8. 15.21. расходится. 15.22. 6. 15.23.. 2 15.24. . 15.25. расходится. 15.26. . 15.27. расходится. 15.28. . 15.29. . 15.30. , если ; расходится, если . 15.31. . 15.32. расходится. 15.33. .