Второй признак сходимости

В некоторых случаях бывает затруднительно подобрать так функцию или , чтобы на требуемом промежутке было справедливо неравенство . Кроме того, необходимо, чтобы несобственный интеграл от функции сходился или несобственный интеграл от функции расходился. В этих случаях полезен второй признак сходимости несобственных интегралов. Сначала докажем лемму, необходимую далее.

Лемма. Если существует предел , , то функция ограничена на некотором промежутке , .

Доказательство проведем методом от противного. Тогда в каждом промежутке найдется такая точка , в которой . Так как последовательность — бесконечно большая и , то, . Отсюда и из определения предела функции следует, что . Следовательно, последовательность ограничена, что противоречит условию , . ■

Теорема 15.2. Пусть на промежутке функция , а функция и существует предел . Тогда интегралы и сходятся или расходятся одновременно.