![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Понятие производной порядка . Пусть функция
определена в некоторой окрестности
точки
и дифференцируема в этой окрестности, т.е. дифференцируема в каждой точке
. Тогда в окрестности
определена новая функция
, которая, называется производной функции
на множестве
. Если функция
имеет в точке
производную, то ее называют второй производной или производной второго порядка функции
в этой точке и обозначают одним из символов
при этом часто аргумент – точку, в которой вычисляется эта производная, опускают. Таким образом
, при этом, если функция
дифференцируема в точке
, т.е. имеет в ней конечную производную, то говорят, что функция
дважды дифференцируема в этой точке.
Аналогично понятию второй производной функции в точке
вводится понятие третьей производной
(ее обозначают также
или
) и, вообще производной любого порядка
.
Точнее, общее определение производной порядка вводится индуктивно. А именно, если функция
имеет в каждой точке
конечную производную
, то производная функции
в точке
называется производной
-го порядка функции
в точке
и обозначается одним из символов
.
Таким образом,
Наконец, мы будем говорить, что функция
раз дифференцируема в точке
, если в некоторой окрестности этой точки она имеет конечную производную
порядка
(а стало быть имеет и все производные
,
,…,
) и функция
дифференцируема в точке
.
В соответствии с данным выше определением производную функции в точке
называют также первой производной функции
в этой точке или, также, производной первого порядка этой функции в точке
. В дальнейшем условимся считать, что
.
Непосредственно из определения производной -го порядка вытекают следующие ее свойства:
(
),
, где
и
–
раз дифференцируемые в точке
функции.
Механический смысл второй производной. Если кинематический закон движения материальной точки вдоль некоторой кривой, т.е. если
– путь, пройденный ей вдоль этой кривой к моменту времени
из некоторой начальной точки, то, как известно, первая производная
, если она существует, представляет собой мгновенную скорость точки в момент времени
.
Вместе с тем отношение называют средним ускорением точки за отрезок времени
, а предел (если он существует)
называют ускорением точки в момент времени
.
Таким образом вторая производная – ускорение точки в момент времени
.
Понятие дифференциала порядка . Пусть функция
раз дифференцируема в точке
(в соответствии с данным выше определением это означает, напомним, что в некоторой окрестности этой точки она имеет конечные производные до порядка
включительно, а в самой точке
имеет и конечную производную порядка
). Тогда степенная функция
переменной
называется дифференциалом функции
в точке
порядка
и обозначается
или
(короче также пишут
или
).
Таким образом, для дифференциала порядка функции
в точке
имеем формулу
при этом понятия дифференциала и первого дифференциала (дифференциала порядка 1) совпадают друг с другом.
Дата публикования: 2015-01-26; Прочитано: 290 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!