Дифференцирование обратной функции

n^o1. Теорема об обратной функции к непрерывной строго монотонной функции.

Прежне всего напомним, что по следствию из второй теоремы Больцано-Коши если функция определена и непрерывна на конечном или бесконечном промежутке , то множество ее значений также есть промежуток , где .

Это утверждение дополняет следствие из второй теоремы Вейерштрасса:

Множество значений непрерывной на отрезке функции является отрезком , где , .

В свою очередь, последнее утверждение дополняет следующая Теорема 1 (критерий непрерывности монотонной функции). Для того, чтобы монотонная на отрезке функция была непрерывной на нем, необходимо и достаточно, чтобы множество ее значений было отрезком.

Напомним также, что справедлива следующая важная Теорема 2 (об обратной функции к непрерывной, строго монотонной). Пусть функция непрерывна и строго монотонна на отрезке . Тогда существует обратная к ней функция , которая является непрерывной и строго монотонной в том же смысле, что и функция .

Следствие. Пусть функция непрерывна и строго монотонна на произвольном промежутке . Тогда обратная к ней функция непрерывна и строго монотонна (в том же смысле что и функция ) на промежутке .

n^o1. Теорема о дифференцировании обратной

Теорема 3. Пусть функция строго монотонна и непрерывна в окрестности точки . Пусть, кроме того, функция дифференцируема в точке и . Тогда обратная к ней функция дифференцируема в точке , причем (1)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из условий теоремы следует, что существует конечный, отличный от нуля предел . Тогда по теореме о пределе частного существует конечный предел (2). Рассмотрим функцию (3).

В силу строгой монотонности функции она определена в проколотой окрестности точки . В точке функция имеет конечный предел (2). Поэтому если доопределить ее в этой точке равенством ,

то она будет непрерывной в этой точке. Тогда учитывая, что функция непрерывна в точке (как обратная к непрерывной, строго монотонной функции ), по теореме о непрерывности суперпозиции заключаем, что сложная функция будет непрерывной в той же точке и, следовательно, (4).

Но в силу (3) в некоторой проколотой окрестности точки имеет место равенство . Поэтому из (4) следует, что функция дифференцируема в точке и имеют место равенства (1) □

Дифференцирование элементарных функций. Таблица производных.

n^о 1. Таблица производных

Элементарные функции (за исключением функций и ) дифференцируемы в своих областях определения, причем справедливы следующие формулы (они обосновываются в следующих пунктах):

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

n^о 2. Показательная и логарифмическая функции.

Здесь будут установлены формулы , , и из предыдущего пункта. Прежде всего, напомним, что (1) и (2)

Теперь используя равенство (2) и то, что постоянную можно выносить за знак предела получим: = . Таким образом установлена формула .

Далее, так как функция является обратной к функции , по формуле для производной обратной функции имеем: = . Следовательно, установлена и формула .

Для вывода формулы установим формулу дифференцирования показательно-степенной функции где и – дифференцируемые на некотором промежутке функции, причем на .

Используя формулу для производной сложной функции, формулы и , а также формулу для производной произведения функций будем иметь

Таким образом, .

В частности, если здесь , а , то , т.е. установлена и формула .

Формула в ытекает из формулы 2⁰ в силу формулы дифференцирования обратной функции: (здесь , ).

n^о 3. Производная степенной функции.

Предварительно представив степенную функцию () в виде ее производную вычислим с помощью формулы дифференцирования сложной функции: Формула , таким образом, также доказана.

n^о 4. Тригонометрические функции.

Используя формулу , а также известный замечательный предел , по определению производной с учетом непрерывности функции будем иметь

Далее, по правилу дифференцирования сложной функции получим

Производные от функции и вычисляются с использованием установленных выше формул и и формул дифференцирования частного. Читателю предлагается сделать это самостоятельно.

n^о 5. Обратные тригонометрические функции.

Формулы выводятся с помощью формулы для производной обратной функции и одной из соответствующих .

Например, функция является обратной к функции , (). Поэтому .(Перед радикалом здесь берется знак «+», поскольку при ). Аналогично вычисляется производная от функции .

Далее, функция является обратной к функции . Поэтому . Аналогично вычисляется производная от функции .