![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
no1. Теорема об обратной функции к непрерывной строго монотонной функции.
Прежне всего напомним, что по следствию из второй теоремы Больцано-Коши если функция определена и непрерывна на конечном или бесконечном промежутке
, то множество ее значений
также есть промежуток
, где
.
Это утверждение дополняет следствие из второй теоремы Вейерштрасса:
Множество значений непрерывной на отрезке функции
является отрезком
, где
,
.
В свою очередь, последнее утверждение дополняет следующая Теорема 1 (критерий непрерывности монотонной функции). Для того, чтобы монотонная на отрезке функция
была непрерывной на нем, необходимо и достаточно, чтобы множество ее значений было отрезком.
Напомним также, что справедлива следующая важная Теорема 2 (об обратной функции к непрерывной, строго монотонной). Пусть функция непрерывна и строго монотонна на отрезке
. Тогда существует обратная к ней функция
, которая является непрерывной и строго монотонной в том же смысле, что и функция
.
Следствие. Пусть функция непрерывна и строго монотонна на произвольном промежутке
. Тогда обратная к ней функция непрерывна и строго монотонна (в том же смысле что и функция
) на промежутке
.
no1. Теорема о дифференцировании обратной
Теорема 3. Пусть функция строго монотонна и непрерывна в окрестности
точки
. Пусть, кроме того, функция
дифференцируема в точке
и
. Тогда обратная к ней функция
дифференцируема в точке
, причем
(1)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Из условий теоремы следует, что существует конечный, отличный от нуля предел . Тогда по теореме о пределе частного существует конечный предел
(2). Рассмотрим функцию
(3).
В силу строгой монотонности функции она определена в проколотой окрестности
точки
. В точке
функция
имеет конечный предел (2). Поэтому если доопределить ее в этой точке равенством
,
то она будет непрерывной в этой точке. Тогда учитывая, что функция непрерывна в точке
(как обратная к непрерывной, строго монотонной функции
), по теореме о непрерывности суперпозиции заключаем, что сложная функция
будет непрерывной в той же точке
и, следовательно,
(4).
Но в силу (3) в некоторой проколотой окрестности точки
имеет место равенство
. Поэтому из (4) следует, что функция
дифференцируема в точке
и имеют место равенства (1) □
Дифференцирование элементарных функций. Таблица производных.
nо 1. Таблица производных
Элементарные функции (за исключением функций и
) дифференцируемы в своих областях определения, причем справедливы следующие формулы (они обосновываются в следующих пунктах):
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
nо 2. Показательная и логарифмическая функции.
Здесь будут установлены формулы ,
,
и
из предыдущего пункта. Прежде всего, напомним, что
(1) и
(2)
Теперь используя равенство (2) и то, что постоянную можно выносить за знак предела получим: =
. Таким образом установлена формула
.
Далее, так как функция является обратной к функции
, по формуле для производной обратной функции имеем:
=
. Следовательно, установлена и формула
.
Для вывода формулы установим формулу дифференцирования показательно-степенной функции
где
и
– дифференцируемые на некотором промежутке
функции, причем
на
.
Используя формулу для производной сложной функции, формулы и
, а также формулу для производной произведения функций будем иметь
Таким образом, .
В частности, если здесь , а
, то
, т.е. установлена и формула
.
Формула в ытекает из формулы 20 в силу формулы дифференцирования обратной функции:
(здесь
,
).
nо 3. Производная степенной функции.
Предварительно представив степенную функцию (
) в виде
ее производную вычислим с помощью формулы дифференцирования сложной функции:
Формула
, таким образом, также доказана.
nо 4. Тригонометрические функции.
Используя формулу , а также известный замечательный предел
, по определению производной с учетом непрерывности функции
будем иметь
Далее, по правилу дифференцирования сложной функции получим
Производные от функции и
вычисляются с использованием установленных выше формул
и
и формул дифференцирования частного. Читателю предлагается сделать это самостоятельно.
nо 5. Обратные тригонометрические функции.
Формулы выводятся с помощью формулы для производной обратной функции и одной из соответствующих
.
Например, функция
является обратной к функции
, (
). Поэтому
.(Перед радикалом здесь берется знак «+», поскольку
при
). Аналогично вычисляется производная от функции
.
Далее, функция
является обратной к функции
. Поэтому
. Аналогично вычисляется производная от функции
.
Дата публикования: 2015-01-26; Прочитано: 570 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!