![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Теорема 2. Пусть функция и все ее производные до порядка
включительно являются непрерывными функциями на отрезке
с концами в точках
и
, а во внутренних точках этого отрезка существует конечная производная
. Тогда, для любой непрерывной на этом отрезке функции
, дифференцируемой во внутренних точках этого отрезка и имеющей в каждой из этих точек отличную от нуля производную, существует такая точка
, лежащая между точками
и
, что остаточный член в формуле Тейлора может быть записан в виде
. (1)
Д о к а з а т е л ь с т в о. На отрезке с концами в точках
и
рассмотрим функцию переменной
:
, где
.
Из условий теоремы следует, что на отрезке функция
обладает теми же свойствами, что и функция
. Точнее, на отрезке
функции
и
удовлетворяют всем условиям теоремы Коши о среднем значении для дифференцируемых функций.
По этой теореме между точками и
найдется такая точка
, что
(2)
Поскольку , (3) то нетрудно видеть, что
. (4)
К тому же, как следует из (3), (5) и
(6) Из формул (2), (4) – (6) имеем:
. В свою очередь отсюда, с учетом того, что по условию теоремы
(
- внутренняя точка отрезка
), получим искомое равенство (1) □
Следствие. Если на отрезке с концами в точках и
функция
и все ее производные до порядка
включительно являются непрерывными функциями, а во внутренних точках этого отрезка существует конечная производная
, то остаточный член в формуле Тейлора
(7) может быть записан, как в форме Коши:
, (8) так и в форме Лагранжа:
(9) (здесь
лежит между точками
и
, при этом является, вообще говоря, разной в формулах (8) и (9)).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Формула (8) вытекает из формулы (1), если в ней положить . В свою очередь, формула (9) вытекает из той же формулы (1), если в последней положить
. Таким образом, если выполнены условия следствия из теоремы 2, то формулу Тейлора для функции
можно записать как в виде
(10) (формула Тейлора с остаточным членов в форме Лагранжа), так и в виде
(11) (формула Тейлора с остаточным членом в форме Коши)□
Дата публикования: 2015-01-26; Прочитано: 594 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!