Дифференцируемые функции. Понятие дифференциала

Пусть функция определена в окрестности точки .

Определение 1. Если существует такая линейная функция вещественного аргумента (), что приращение функции может быть представлено в виде (1), где при , то функция называется дифференцируемой в точке , а соответствующая линейная функция аргумента называется ее дифференциалом в этой точке.

Дифференциал функции в точке обычно обозначается одним из символов: или .

В последнем случае имеют в виду, что , при этом часто опускают указание о том, в какой точке рассматривается этот дифференциал, т.е. для обозначения дифференциала используют символы или . Таким образом, (2).

З амечание 1. Очевидно, равенство (1) можно записать в виде (1’), где и , (т.е. - бесконечно малая при высшего порядка по сравнению с ) или, короче, в виде (1’’), где - приращение функции в точке , соответствующее приращению аргумента .

Замечание 2. Поскольку , то вместо (2) также пишут: (2’)

Теорема 1. Для того, чтобы функция была дифференцируемой в точке , необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Пусть функция дифференцируема в точке . Тогда из равенства (1) следует, что

Это означает, что существует конечная производная .

Достаточность. Предположим, что в точке функция имеет конечную производную . Тогда из равенства следует, что (3), где - бесконечно малая при функция. Поэтому (4) и так как (ибо ), то равенство (4) можно записать в виде: (5) в виде (1), где . Таким образом, функция дифференцируема в точке □

Замечание 3. Из доказательства теоремы видно, что дифференциал функции в точке есть следующая линейная функция от приращения аргумента : (6). А поскольку для функции имеем , то , т.е. ,

Таким образом, можно сказать, что - дифференциал независимой переменной и, следовательно, определению дифференциала можно придать форму: . (7)

Отсюда, в частности, становится понятным, почему производную обозначают также .