![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
(суперпозицию двух и более функций мы называем также сложной функцией)
Теорема. Пусть функция определена на интервале
, а функция
определена на интервале
, причем
. Тогда если функция
дифференцируема в точке
, а функция
дифференцируема в точке
, то сложная функция
дифференцируема в точке
и
(1)
Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу дифференцируемости функций и
, соответственно, в точках
и
, имеем
;
(2), и
;
(3). Как известно
(4), где
- бесконечно малая при
, причем без ущерба для общности можно считать, что
, то есть можно считать, что функция
непрерывна в точке
. Из (3) и (4) следует, что
. Подставляя сюда
,
и используя затем равенство (2), получим
и, следовательно,
(5).
Поскольку функция непрерывна в точке
, а функция
непрерывна в точке
и
, то по теореме о непрерывности сложной функции
.
А так как, кроме того, , то из (5) следует, что существует конечная производная
и имеет место равенство (1). Для завершения доказательства теоремы остается вспомнить, что существование конечной производной
равносильно дифференцируемости функции
в точке
Замечание. Пусть выполнены условия теоремы. Тогда по определению дифференциала (6), и, в силу равенства (1), для сложной функции будем иметь
или
(7).
Считая точку произвольной (то есть заменяя
на произвольное
). Равенства (6) и (7) записывают в виде
(6¢),
(7¢).
Эти формулы показывают, что формально вид дифференциала не меняется как при записи его через независимую переменную , так и при записи через зависимую переменную. В этом состоит, так называемое, свойство инвариантности дифференциала, который называют также первым дифференциалом.
Дата публикования: 2015-01-26; Прочитано: 278 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!