Дифференцирование сложной функции

(суперпозицию двух и более функций мы называем также сложной функцией)

Теорема. Пусть функция определена на интервале , а функция определена на интервале , причем . Тогда если функция дифференцируема в точке , а функция дифференцируема в точке , то сложная функция дифференцируема в точке и (1)

Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу дифференцируемости функций и , соответственно, в точках и , имеем ; (2), и ; (3). Как известно (4), где - бесконечно малая при , причем без ущерба для общности можно считать, что , то есть можно считать, что функция непрерывна в точке . Из (3) и (4) следует, что . Подставляя сюда , и используя затем равенство (2), получим и, следовательно, (5).

Поскольку функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке и , то по теореме о непрерывности сложной функции .

А так как, кроме того, , то из (5) следует, что существует конечная производная и имеет место равенство (1). Для завершения доказательства теоремы остается вспомнить, что существование конечной производной равносильно дифференцируемости функции в точке 

Замечание. Пусть выполнены условия теоремы. Тогда по определению дифференциала (6), и, в силу равенства (1), для сложной функции будем иметь или (7).

Считая точку произвольной (то есть заменяя на произвольное ). Равенства (6) и (7) записывают в виде (6¢), (7¢).

Эти формулы показывают, что формально вид дифференциала не меняется как при записи его через независимую переменную , так и при записи через зависимую переменную. В этом состоит, так называемое, свойство инвариантности дифференциала, который называют также первым дифференциалом.