Разложение элементарных функций по формуле Тейлора

Если , то формула Тейлора функции имеет особенно простой вид: (1)

В этом случае она называется формулой Маклорена. Остаточный член в ней в форме Пеано, Лагранжа и Коши, соответственно, имеет вид

,

,

и

.

Укажем разложения некоторых элементарных функций по формуле Маклорена.

. Пусть . Эта функция имеет производные любого порядка и в любой точке (в таких случаях говорят, что функция бесконечно дифференцируема на всей числовой оси).

Как известно . Поэтому формула Маклорена функции имеет вид (): , где остаточный член можно записать в любой из форм:

(в форме Пеано)

(в форме Лагранжа) и (в форме Коши), где точка в каждой из двух последних формул лежит между точками и .

. Пусть . Так как эта функция бесконечно дифференцируема на всей вещественной оси и , то ; и, следовательно, . При этом остаточный член в форме Пеано имеет вид: , соответственно остаточный член в форме Лагранжа выглядит следующим образом: (2), а остаточный член в форме Коши имеет вид: (3)

Замечание 1. Для доказательства, например, равенства (2) достаточно заметить, что остаточный член в форме Лагранжа в общем случае имеет вид: , а затем убедиться в том, что для функции имеют место равенства .

. Пусть . Эта функция также бесконечно дифференцируема . Поскольку здесь , то . Поэтому имеем, , при этом остаточный член имеет вид: (в форме Пеано); (в форме Лагранжа); (в форме Коши).