Локальная формула Тейлора (формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано)

Пусть функция раз дифференцируема в точке . Напомним, это означает, что существует такая окрестность точки , в которой определена сама функция и существуют конечные производные , при этом в точке существует также конечная производная . Поэтому, в частности, определен многочлен , который называется ( -ым) многочленом Тейлора функции в точке . Положим . Тогда Эта формула или, в более явном виде, формула (1) называется формулой Тейлора функции в точке , а функция - остаточным членом формулы Тейлора.

Ниже будет доказано, что остаточный член формулы Тейлора может быть записан в виде (при ) (2).

Остаточный член в такой форме обычно называют остаточным членом в форме Пеано, а формулу Тейлора с остаточным членом в такой форме, т. е. формулу (3) называют, соответственно, формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано или, также, локальной формулой Тейлора.

Лемма 1. Пусть функция раз дифференцируема в точке и (4), тогда (5)

Д о к а з а т е л ь с т в о (по индукции). При в силу дифференцируемости функции в точке имеем . А так как по условию (4) , то это означает, что , таким образом, при утверждение леммы справедливо.

Предположим, что оно справедливо при , и покажем, что тогда оно справедливо и при .

Действительно, поскольку при по условию (4), в частности, , то по индукционному предположению для функции справедливо (6)

Далее, так как функция раз дифференцируема в точке и , то для любой точки из некоторой окрестности имеет место формула конечных приращений Лагранжа , (7) где точка лежит между точками и . Но так как , то из формул (6) и (7) следует, что .

Полагая здесь будем иметь . Поэтому равенство (5) при будет доказано, если будет показано, что (8)

Действительно, так как точка лежит между точками и , то

(9)

и, следовательно,

(10)

Остаётся заметить, что в силу (9) при и, значит,

Тогда по принципу двух милиционеров из (10) следует (8) 

Теорема 1. Если функция раз дифференцируема в точке , то для нее имеет место формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано (3).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно заметить, что при выполнении условий теоремы функция

Удовлетворяет условиям леммы 1 

Замечание 1. Вот другая, равносильная формулировка теоремы 1: Если функция имеет в точке конечные производные до порядка включительно, то для нее имеет место локальная формула Тейлора (3).