![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Определение 1. Пусть функция определена на множестве
и
. Говорят, что в точке
функция
имеет локальный минимум (локальный максимум)
, если существует такая окрестность
этой точки, что
(
), (1) при этом точку
называют точкой локального минимума (локального максимума) функции.
Замечание 1. Если внутренняя точка множества
, т.е. если она принадлежит ему вместе с некоторой своей окрестностью то в условии (1) вместо «
» можно писать «
», считая без ущерба для общности, что
.
Замечание 2. Если в точке функция
имеет или локальный минимум или локальный максимум, то говорят, что она имеет в этой точке локальный экстремум, при этом точку
называют точкой локального экстремума.
Замечание 3. Всякая точка максимума (минимума) фуркции на множестве
, т.е. всякая точка
, для которой
; (
), иногда называется точкой глобального минимума (глобального максимума) функции
на множестве
.
Очевидно, что всякая точка глобального экстремума, т.е. глобального максимума или глобального минимума, является также и точкой локального экстремума.
Теорема 1(Ферма). Пусть функция определена на множестве
,
- внутренняя точка множества
и функция
дифференцируема в этой точке.Тогда, если
– точка локального экстремума этой функции, то
(2)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Для определенности будем считать, что ─ точка локального минимума. Тогда
такое, что
(
─ внутренняя точка
) и
.
Поэтому
(3)
. (4)
Из неравенства (3), в силу дифференцируемости функции в точке
и теоремы о предельном переходе в неравенстве, очевидно следует, что
(5), а из неравенства (4), в силу того же, в свою очередь, следует, что
(6). Из неравенств (5) и (6) и вытекает равенство (2) □
39. Теоремы о среднем значении для дифференцируемых функций: теоремы Роля, Лагранжа и Коши.
Теорема 1 (теорема Ролля). Пусть функция непрерывна на отрезке
,дифференцируема на интервале
и на концах отрезка
принимает равные значения:
(1). Тогда существует такая точка
, что
. (2)
Замечание 1. Из геометрических соображений теорема Ролля очевидна: если выполнены условия теоремы, то найдется такая точка , что в точке
графика функции
касательная к графику параллельна оси абсцисс и, следовательно тангенс угла наклона касательно в этой точке равен нулю, что равносильно (2).
Д о к а з а т е л ь с т в о. По первой теореме Вейерштрасса (о непрерывной на отрезке функции) функция ограничена на отрезке
. Следовательно числа
и
конечны.
Если , то очевидно функция
является постоянной на отрезке
. Тогда в качестве точки
, для которой имеет место (2), можно взять любую точку интервала
.
Пусть . Тогда выполнено по крайней мере одно из неравенств
(3) и
(4)
Пусть, например, имеет место (4). По второй теореме Вейерштрасса о непрерывной на отрезке функции , при этом в силу (4)
и
, т.е.
. По определению числа
точка
является точкой глобального максимума функции
. Поэтому по теореме Ферма в этой точке имеет место равенство (2) □
Теорема 2 (Лагранжа). Пусть функция непрерывна на отрезке
и дифференцируема на интервале
.Тогда найдется такая точка
, что
(5)
Замечание 2. Терема 2 также имеет простой геометрический смысл. При выполнении ее условий на графике функции найдется такая точка
, что в точке
, касательная в которой к графику параллельна хорде, стягивающей точки
и
.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим функцию
Она очевидно непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале
и на концах отрезка
принимает равные значения:
.Тогда по теореме Ролля
, т.е.
, а это равносильно равенству (5)□
Замечание 3. Формулу (5) называют формулой конечных приращений Лагранжа. Очевидно, она может быть записана в виде
Для этого достаточно положить в (5) ,
, a
выбрать из условия
, т.е. положить
. Нетрудно видеть, что формула
верна как при
, так и при
.
Теорема 3 (Коши). Пусть функции и
непрерывны на отрезке
и дифференцируемы на интервале
. Тогда
:
(6)
Д о к а з а т е л ь с т в о.Рассмотрим функцию .
Она, очевидно, удовлетворяет условию теоремы Ролля, согласно которой , т.е.
, что равносильно равенству (6)□
Дата публикования: 2015-01-26; Прочитано: 443 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!