Локальный экстремум функции. Теорема Ферма

Определение 1. Пусть функция определена на множестве и . Говорят, что в точке функция имеет локальный минимум (локальный максимум) , если существует такая окрестность этой точки, что (), (1) при этом точку называют точкой локального минимума (локального максимума) функции.

Замечание 1. Если внутренняя точка множества , т.е. если она принадлежит ему вместе с некоторой своей окрестностью то в условии (1) вместо «» можно писать «», считая без ущерба для общности, что .

Замечание 2. Если в точке функция имеет или локальный минимум или локальный максимум, то говорят, что она имеет в этой точке локальный экстремум, при этом точку называют точкой локального экстремума.

Замечание 3. Всякая точка максимума (минимума) фуркции на множестве , т.е. всякая точка , для которой ; (), иногда называется точкой глобального минимума (глобального максимума) функции на множестве .

Очевидно, что всякая точка глобального экстремума, т.е. глобального максимума или глобального минимума, является также и точкой локального экстремума.

Теорема 1(Ферма). Пусть функция определена на множестве , - внутренняя точка множества и функция дифференцируема в этой точке.Тогда, если – точка локального экстремума этой функции, то (2)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для определенности будем считать, что ─ точка локального минимума. Тогда такое, что ( ─ внутренняя точка ) и .

Поэтому (3) . (4)

Из неравенства (3), в силу дифференцируемости функции в точке и теоремы о предельном переходе в неравенстве, очевидно следует, что (5), а из неравенства (4), в силу того же, в свою очередь, следует, что (6). Из неравенств (5) и (6) и вытекает равенство (2) □

39. Теоремы о среднем значении для дифференцируемых функций: теоремы Роля, Лагранжа и Коши.

Теорема 1 (теорема Ролля). Пусть функция непрерывна на отрезке ,дифференцируема на интервале и на концах отрезка принимает равные значения: (1). Тогда существует такая точка , что . (2)

Замечание 1. Из геометрических соображений теорема Ролля очевидна: если выполнены условия теоремы, то найдется такая точка , что в точке графика функции касательная к графику параллельна оси абсцисс и, следовательно тангенс угла наклона касательно в этой точке равен нулю, что равносильно (2).

Д о к а з а т е л ь с т в о. По первой теореме Вейерштрасса (о непрерывной на отрезке функции) функция ограничена на отрезке . Следовательно числа и конечны.

Если , то очевидно функция является постоянной на отрезке . Тогда в качестве точки , для которой имеет место (2), можно взять любую точку интервала .

Пусть . Тогда выполнено по крайней мере одно из неравенств (3) и (4)

Пусть, например, имеет место (4). По второй теореме Вейерштрасса о непрерывной на отрезке функции , при этом в силу (4) и , т.е. . По определению числа точка является точкой глобального максимума функции . Поэтому по теореме Ферма в этой точке имеет место равенство (2) □

Теорема 2 (Лагранжа). Пусть функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале .Тогда найдется такая точка , что (5)

Замечание 2. Терема 2 также имеет простой геометрический смысл. При выполнении ее условий на графике функции найдется такая точка , что в точке , касательная в которой к графику параллельна хорде, стягивающей точки и .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим функцию

Она очевидно непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале и на концах отрезка принимает равные значения: .Тогда по теореме Ролля , т.е. , а это равносильно равенству (5)□

Замечание 3. Формулу (5) называют формулой конечных приращений Лагранжа. Очевидно, она может быть записана в виде

Для этого достаточно положить в (5) , , a выбрать из условия , т.е. положить . Нетрудно видеть, что формула верна как при , так и при .

Теорема 3 (Коши). Пусть функции и непрерывны на отрезке и дифференцируемы на интервале . Тогда _: (6)

Д о к а з а т е л ь с т в о.Рассмотрим функцию .

Она, очевидно, удовлетворяет условию теоремы Ролля, согласно которой , т.е. , что равносильно равенству (6)□