Арифметические операции с дифференцируемыми функциями

Теорема. Пусть функции и определены в окрестности точки и дифференцируемы в этой точке. Тогда в этой точке дифференцируема и каждая из функций , , и (при ), причем (1), (2), (3), (4).

Д о к а з а т е л ь с т в о. 1. Дифференцируемость функции и равенство (1) очевидно будут установлены, если будут установлены дифференцируемость функции и равенство (3). В этом случае достаточно будет рассмотреть функцию .

2. Дифференцируемость функции и равенство (2) вытекают из того, что имеют место равенства и из того, что по условию существуют конечные пределы и , при этом следует помнить, что дифференцируемость функции в точке равносильна существованию конечной ее производной в этой точке.

3. Дифференцируемость произведения функций и равенство (3).

Пусть . Тогда

, и, следовательно, (5).

В силу дифференцируемости функций и в точке , существуют конечные пределы , и (6). Поэтому из (5) следует, что существует конечный предел (7), т.е. функция дифференцируема в точке . Переходя в равенстве (5) к пределу при с учетом равенств (6) и (7) получим равенство (3).

4. Дифференцируемость и равенство (4). Положим . По крайней мере, в некоторой окрестности точки , это определение корректно, так как и функция непрерывна в точке .

Далее, имеем:

, и, следовательно, .

Рассуждая теперь аналогично пункту 3 данного доказательства, убеждаемся, что функция дифференцируема в точке , а переходя здесь к пределу при получим также и равенство (4) □

Замечание (о формулах для дифференциалов, вытекающих из формул (1) - (6)). Учитывая, что дифференциал функции в точке находится по правилу из формул (1)–(4), умножая каждую из них на , получим следующие формулы для дифференциалов: , (здесь ); ; ; .