Понятие производной, ее геометрический и механический смысл. Уравнение касательной к графику функции в данной точке

Пусть и . Точка называется внутренней точкой множества , если она принадлежит ему вместе с некоторой своей окрестностью, т.е. существует такая окрестность точки , что .

Пусть теперь функция определена на множестве и - внутренняя точка множества . Тогда существует такая окрестность точки , что и, следовательно, функция определена на множестве и – точка сгущения этого множества. Таким образом, корректно следующее Определение 1. Если существует предел , то он называется производной функции в точке .

Производная функции () в точке обозначается одним из последующих символов: , , , , при этом если ясно, в какой точке рассматривается производная, то для ее обозначения используют символы: , , , .Таким образом, (1)

Замечание 1. Если положить , , то теорема о пределе суперпозиции позволяет также определить производную с помощью любого из равенств: (2), (3).

Величины и называют, соответственно, приращением аргумента и приращением функции в точке . В соответствии с равенством (3), можно сказать, что производная равна пределу отношения приращения функции (в точке ) к приращению аргумента.

Замечание 2. Определение производной выше было дано в предположении, что точка - внутренняя точка области определения функции . Если же точка не является внутренней точкой множества , но принадлежит этому множеству вместе с некоторой своей односторонней окрестностью , или , то можно ввести понятие односторонней производной: (правая производная), (левая производная).

Замечание 3. В определении производной не требуется, чтобы предел (1) был конечным. Если предел (1) равен или , то производная называется бесконечной.

Теорема 1. Пусть функция определена в окрестности точки и имеет в этой точке конечную производную. Тогда она непрерывна в этой точке.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно заметить, что □

n°2. Геометрический смысл производной. Производная функции в точке – тангенс угла наклона касательной к графику этой функции в точке (подробнее на лекции и в учебниках).

n°3. Физический смысл производной Значение производной в точке численно равно мнгновенной скорости изменения функции