Теоремы Вейерштрасса о непрерывных на отрезке функциях

Теорема 1 (первая теорема Вейерштрасса). Всякая непрерывнаяна отрезке функция ограничена на этом отрезке.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим противное. Тога для любого натурального найдется такая точка , что (1). Так как последовательность ограничена (), то по теореме Больцано-Вейерштрасса она содержит сходящуюся подпоследовательность . Пусть при .

Очевидно, что (для того, чтобы убедиться в этом достаточно в неравенствах перейти к пределу при ). Поэтому в силу непрерывности функции на отрезке . Следовательно, последовательность ограничена, что, противоречит тому, что согласно (1) □

Пусть функция определена на множестве . Далее полагаем и .

Теорема 2 (вторая теорема Вейерштрасса). Всякая непрерывнаяна отрезке функция достигает на нем своих точных верхней и нижней граней, т.е. существуют такие точки ,что , .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем, например, утверждение теоремы относительно точной верхней грани. Доказательство проведем от противного. А именно, положим и предположим, что . Тогда, очевидно, функция будет непрерывной на отрезке . Поэтому по теореме 1 она будет ограниченной на этом отрезке. В частности, найдется такое , что . Следовательно , а это противоречит тому, что □

Замечание 1. Теорема 2 по сути гласит, что во множестве значений непрерывной на отрезке функции имеется наибольший и наименьший элементы. Они, соответственно, называются наибольшим и наименьшим значениями функции, при этом точки и , в которых функция принимает эти значения, называются, соответственно точкой максимума и точкой минимума функции на отрезке . Теорему 2, таким образом, можно рассматривать как теорему о существовании точек максимума и минимума непрерывной на отрезке функции.

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке обычно обозначаются символами и

Из второй теоремы Вейерштрасса с учетом следствия из второй теоремы Больцано-Коши, вытекает такое Следствие. Множество значений непрерывной на отрезке функции является отрезком , где , .