Теорема 2 (вторая теорема Больцано-Коши)

Пусть функция определена и непрерывна на отрезке , причем на концах этого отрезка она принимает разные значения .Тогда каковы бы ни было число , лежащее между и найдется такое , что .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть для определенности . Выберем произвольное , , и рассмотрим вспомогательную функцию . Она, очевидно, непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разных знаков: . По теореме 1 существует такое , что , т.е. или □

Следствие. Если функция определена и непрерывна на конечном или бесконечном промежутке , то множество ее значений также есть некоторый промежуток.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть . Выберем произвольное . Из определения точных граней следует, что найдутся такие значения и (), что .

По теореме 2 существует число , лежащее между числами и , такое, что . В силу произвольности выбранного это означает, что . С учетом определения чисел и отсюда следует, что множество есть некоторый промежуток □