Теоремы Больцано-Коши о промежуточных значениях непрерывной функции

Теорема 1 (первая теорема Больцано-Коши)

Пусть функция определена и непрерывна на отрезке () и на концах его принимает значения разных знаков (). Тогда найдется такая точка , в которой функция обращается в нуль: (1)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для определенности будем считать, что (2). Разделим отрезок на два средней его точкой . Тогда либо в этой точке имеет место равенство (1), либо на концах одного (и только одного) из отрезков , , (3) функция будет принимать значения разных знаков, причем, в силу (2), отрицательное значение – на левом конце и положительное – на правом. В случае реализации второй из указанных возможностей обозначим тот из отрезков (3), на концах которого функция принимает значения разных знаков, через . Таким образом, будем иметь: (4).

Разделим теперь пополам отрезок . Тогда опять-таки, либо в точке имеет место равенство (1), либо на концах одной из половин отрезка функция принимает значения разных знаков. При реализации второй из этих возможностей обозначим через ту из этих половин, для которой (5).

Продолжая описанный процесс деления отрезков пополам и далее, либо через конечное число шагов мы обнаружим, что в точке деления очередного отрезка функция обращается в нуль и тем самым завершим доказательство теоремы, либо получим бесконечную последовательность вложенных друг в друга отрезков , длины которых стремятся к нулю при , (6) при этом на концах каждого из этих отрезков функция принимает значения разных знаков, а именно, (7)

По лемме о вложенных отрезках рассматриваемые отрезки имеют единственную общую точку , при этом (8)

Тогда переходя в неравенствах (7) к пределу при , с учетом непрерывности функции на отрезке и, в частности, непрерывности ее в точке , получим и, следовательно, , причем из неравенств (2) следует, что □

Замечание 1. Для непрерывной на некотором отрезке функции , принимающей в каких-то двух точках этого отрезка значения разных знаков, доказанная теорема очевидно доставляет метод приближенного отыскания корней уравнения . Этот метод часто называют методом деления отрезка пополам.

З амечание 2. Теорема 1 позволяет также установить наличие вещественного корня у всякого многочлена нечетной степени

Действительно, при достаточно больших по абсолютной величине значениях этот многочлен имеет знак старшего члена, т.е. члена . Точнее, при положительных таких он имеет знак, равный знаку , а при отрицательных таких он имеет обратный знак. Так как многочлен – непрерывная на всей числовой оси функция, то по теореме 1 хотя бы в одной точке он обращается в нуль.