Равномерно непрерывные функции. Теорема Кантора

Определение 1. Функция называется непрерывной на множестве , если она непрерывна в каждой точке .

Определение 2. Функция называется равномерно непрерывной на множестве , если для любого такое, что , удовлетворяющих неравенству (1) имеет место неравенство . (2)

Замечание 1. В обоих этих определения не исключается, что

Замечание 2. Очевидно, если функция равномерно непрерывна на множестве , то она и непрерывна на нем. Как показывает приводимый ниже пример, обратное утверждение, вообще говоря, неверно, т.е. из непрерывности функции на множестве , вообще говоря, не следует, что она равномерно непрерывна на этом множестве.

Пример 1. Функция непрерывна на множестве . Покажем, что она не является равномерно непрерывной на нем. Предположим противное, т.е. что она все же является равномерно непрерывной на множестве . Тогда такое, что при , , (3) будет справедливо неравенство . (4)

Пусть . Для этих точек условия (3) выполнены и, следовательно, имеет место неравенство (4). Это неравенство, в частности показывает, что при фиксированном , функция ограничена на интервале . Но это противоречит тому, что . Таким образом, непрерывная на множестве функция не является равномерно непрерывной на этом множестве □

Замечание 3. Отличие понятия равномерно непрерывной на множестве функции от понятия непрерывной на нем функции состоит в том, что если функция – непрерывна на множестве , то для каждой точки и для каждого существует свое, т.е. зависящее и от , и от точки число , которое для всех , удовлетворяющих неравенству (5) гарантирует выполнение неравенства (6).

Если же функция – равномерно непрерывна на множестве , то для каждого независимо от выбора точки существует зависящее только от выбранного число , которое для всех , удовлетворяющих неравенству (5), гарантирует выполнение неравенства (6).

Следующая теорема указывает тот важный частный случай, когда из непрерывности функции на множестве следует также и ее равномерная непрерывность на том же множестве.

Теорема 1 (Кантора). Непрерывная на отрезке функция равномерно непрерывна на этом отрезке.

Воспользуемся доказательством от противного.

Пусть f (x) — функция, отвечающая условиям теоремы (на компакте A), но не равномерно непрерывная на нём. Тогда существует такое ε, что для всех δ > 0 существуют такие x и y, расстояние между которыми меньше δ, но расстояние между их образами не менее ε: но

Возьмём последовательность {δ _k }, сходящуюся к 0, например, . Построим последовательности x_k и y_k так, чтобы , тогда d (f (x_k), f (y_k)) > ε, A — компакт, поэтому можно выделить сходящиеся последовательности: Но так как расстояние между ними стремится к нулю, по лемме о вложенных отрезках они стремятся к одной точке: . И, так как f непрерывна , что противоречит предположению, что .

Стало быть, функция, непрерывная на компакте, действительно равномерно непрерывна на нём.