Понятие непрерывной функции. Простейшие свойства непрерывных функций, в том числе, вытекающие из свойств предела

Определение 1. Функция , , называется непрерывной в точке , если для любого существует такое , что для любого , удовлетворяющего неравенству (1), справедливо также и неравенство (2).

Замечание 1. Данное определение иногда называется определением непрерывности функции на языке . По форме оно явно напоминает определение предела функции в форме Коши, при этом в отличие от него здесь требуется, чтобы точка принадлежала множеству , но не требуется, чтобы она была точкой сгущения этого множества.

В связи с последним замечанием отметим, что если точка не является точкой сгущения множества , то она называется изолированной точкой этого множества. Иными словами точка называется изолированной точкой множества , если существует такая ее окрестность , что Æ или, что тоже самое, .

Замечание 2. Согласно определению 1 в любой изолированной точке своей области определения всякая функция является непрерывной. Действительно, каково бы ни было по определению изолированной точки можно выбрать столь малое , что и, следовательно, при этом среди точек множества неравенству (1) будет удовлетворять только точка , но при неравенство (2), очевидно, выполняется для любой функции .

Замечание 3. В силу того, что для неравенство (2) выполняется очевидным образом, можно заключить, что в том случае, когда точка является точкой сгущения множества , неравенство (1) можно заменить неравенствами: (т.е. точку можно исключить из рассмотрения), при этом определение 1 превратится в определение предела при .

Таким образом, можно сказать, что если точка является точкой сгущения множества , то функция непрерывна в этой точке в том и только том случае, когда .

Замечание 4. На языке окрестностей определение 1 можно переформулировать следующим образом:

Определение 1’. Функция , , называется непрерывной в точке , если для любого существует такое , что (т.е. ).

Это определение, а значит и определение 1, очевидно равносильно следующему определению:

Определение 1”. Функция , , называется непрерывной в точке , если для любой окрестности точки существует такая окрестность точки , что .

С учетом замечаний 2 и 3, теоремы о равносильности определений предела по Коши и по Гейне, а также с учетом того, что всякую точку можно представить в виде , заключаем, что определения 1, 1’и 1" равносильны следующему определению на языке последовательностей:

Определение 2. Функция , , называется непрерывной в точке , если для любой последовательности точек , , последовательность сходится и ее предел равен значению функции в точке : .

Упражнение 1. Докажите формально равносильность определений 1 и 2.

Как будет показано каждая элементарная функция является непрерывной в своей области определения, т.е. непрерывной в любой точке своей области определения. В связи с этим напомним, что к числу, так называемых, основных элементарных функций относятся:

– постоянная функция:

– степенная функция: ;

– показательная функция: ;

– логарифмическая функция: ;

– тригонометрические функции: ;

– обратные тригонометрические функции: .

В свою очередь, элементарной называется всякая функция, которая может быть получена из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических операций и образования суперпозиций.

Теорема 1 (О непрерывности сужения). Пусть функция непрерывна в точке и причем . Тогда функция также непрерывна в точке .

Д о к а з а т е л ь с т в о непосредственно вытекает из определения сужения и определения непрерывности.

Отметим еще ряд теорем, которые с учетом замечаний 2 и 3 вытекают из аналогичных теорем о пределе функции.

Теорема 2 (Арифметические свойства непрерывных функций). Пусть функции и определены на множестве и непрерывны в точке . Тогда и функции: , , , (при на ) непрерывны в точке .

Теорема 3 (О локальной ограниченности). Пусть функция определена на множестве и непрерывна в точке . Тогда если – точка сгущения множества , то существует такая окрестность точки , что функция ограничена на множестве .

Теорема 4 (О стабилизации знака). Пусть функция определена на множестве и непрерывна в точке . Тогда если и – точка сгущения множества , то существует такая окрестность точки , что .

Наконец отметим еще две простые теоремы

Теорема 5. Пусть функция определена на множестве и непрерывна в точке , а функция определена на множестве и непрерывна в точке , причем и . Тогда сложная функция непрерывна в точке .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Выберем произвольную последовательность , . Так как - непрерывна в точке , то , а так как , то . Поэтому, в силу непрерывности функции в точке , имеем , то есть , что и означает, что функция - непрерывна в точке 

Пусть функция определена на множестве и . Рассмотрим множества: , .

Определение 1. Функция называется непрерывной слева (непрерывной справа) в точке , если в ней непрерывна функция (соответственно, ).

Замечание. На языке , например, определение непрерывности слева, формулируется следующим образом: функция называется непрерывной слева в точке , если такое, что удовлетворяющего неравенствам справедливо неравенство .

Теорема 6. Функция непрерывна в точке она непрерывна в ней слева и справа одновременно.

Если - изолированная точка множества , то утверждение очевидно. Если же - точка сгущения множества , то оно вытекает из аналогичной теоремы об односторонних пределах.

27. Точки разрыва функции и их классификация. Примеры: функция Дирихле и другие примеры

Определение 1. Пусть функция определена на множестве и . Если функция непрерывна в точке , то она называется точкой непрерывности функции . В противном случае, точка называется точкой разрыва функции .

Замечание 1. Так как всякая изолированная точка множества является точкой непрерывности определенной на нем функции , то точками разрыва могут быть только точки сгущения множества , принадлежащие этому множеству. Часто, однако, к точкам разрыва функции относят и точки, не принадлежащие области ее определения, но в которых существуют оба односторонних ее предела и , при этом допускается, что оба они или один из них являются бесконечными. Так обычно, точка считается точкой разрыва функции , хотя в смысле определения 1 она таковой не является, поскольку не принадлежит области определения этой функции.

Замечание 2. Если – точка разрыва функции , то либо предел не существует, либо он существует, но .

Определение 2. Пусть – точка разрыва функции . Если оба односторонних предела и существуют и конечны, то она называется точкой разрыва 1-го рода

Определение 3. Точка разрыва 1-го рода называется точкой устранимого разрыва функции , если в ней существует предел функции , но он не равен ее значению в этой точке.

Замечание 3. Если точка – точка устранимого разрыва функции , то изменив ее значение в этой точке на значение, равное величине предела в этой точке, получим непрерывную функцию в этой точке:

.

Этим и объясняется термин точка устранимого разрыва.

Определение 4. Точка разрыва функции называется точкой разрыва 2-го рода, если она не является точкой разрыва 1-го рода.

Замечание 4. Иными словамиточка разрыва функции является точкой разрыва 2-го рода, если в ней хотя бы один из односторонних пределов не существует, либо является бесконечным.

Проиллюстрируем данные выше определения на некоторых примерах.

Пример 1 (всюду разрывной функции). Функция Дирихле, определенная на всей числовой оси равенствами:

является разрывной в каждой точке . Действительно, для любой последовательности рациональных чисел , сходящейся к точке , имеем , а для любой последовательности иррациональных чисел , , в свою очередь, имеем . Следовательно, ни в одной точке не существует предел , т.е. каждая точка – точка разрыва функции Дирихле. Более того, нетрудно видеть, что ни в одной точке не существует ни один из односторонних придела и , так как описанные выше последовательности и , с одной стороны, можно выбрать так, что , а с другой стороны, можно выбрать и так, что . Таким образом, каждая точка – точка разрыва 2-го рода функции Дирихле.

Пример 2. Функция «сигнум »

очевидно, разрывна в точке , причем эта точка – точка разрыва 1-го рода.

Пример 3. Функция разрывна в точке , которая, очевидно, является точкой устранимого разрыва.