Единственность предела

Всякая сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Числовая последовательность называется

А) ограниченной, если :

Б) ограниченной сверху, если :

В) ограниченной снизу, если

Всякаясходящаяся последовательность ограничена.

(Утверждение обратное к утверждению последней теоремы, вообще говоря, неверно.)

Пример 1. Рассмотрим последовательность такую, что , . Эта последовательность представляет собой чередующиеся числа :

.

Очевидно, она ограничена

Но если , то каково бы ни было числа одновременно не могут принадлежать -окрестности , так как расстояние между точками и равно

и при меньше двух, а расстояние между двумя соседними точками рассматриваемой последовательности равно двум и следовательно они одновременно не могут принадлежать такой -окрестности любой точки .

Пример ( стационарные последовательности ). Последовательность называется стационарной, если все ее члены за исключением быть может конечного их числа равны одному и тому же вещественному числу , т.е. если такое, что .

Очевидно, всякая стационарная последовательность сходится и ее предел равен тому числу , которому равны все ее члены за исключением конечного их числа.

Очевидно, для любого вещественного числа существует единственное целое число такое, что

.

Оно называется целой частью числа и обычно обозначается .