Предельный переход в неравенствах (для последовательностей)

Лемма 1. Если , и , то существует такой номер , что .

Д о к а з а т е л ь с т в о разбирается на лекции.

Теорема 2 (о предельном переходе в неравенстве). Если каждая из последовательностей и сходится и , то .

В самом деле, элементы последовательности { y_n - x_n } неотрицательны, а поэтому неотрицателен и ее предел . Отсюда следует, что

Замечание. Из того, что , и , в общем случае, следует только, что , а не то, что . Для этого достаточно рассмотреть, например, следующие последовательности и :

Теорема 3 (принцип двух милиционеров). Если , а последовательности и сходятся и имеют один и тот же предел, то сходится и последовательность ,при этом .

Д о к а з а т е л ь с т в о Пусть и . (8) Требуется доказать, что (9). Для этого выберем произвольное и покажем, что такое, что (10) Поскольку имеют место равенства (8), то найдется такой номер , что и , а так как , то отсюда следует, что . Следовательно , что равносильно (10), а это в силу произвольности Þ (9) □