Аксиома непрерывности множества вещественных чисел. Точные грани числовых множеств

Для любых непустых подмножеств и числовой прямой , обладающих тем свойством, что , существует, по крайней мере, одно такое число , которое разделяет эти множества, т.е. .

(Образно говоря, аксиома непрерывности гласит, что множество вещественных чисел не имеет дыр.)

Наименьшая из верхних граней множества называется точной верхней гранью этого множества, а наибольшая из его нижних граней называется точной нижней гранью этого множества.

(Точная верхняя грань множества обозначается символом , а точная нижняя грань множества обозначается ).

Второе определение точной верхней грани:

Число называется точной верхней гранью множества , если

1) и

2) .

(Условие 1) здесь означает, что С - верхняя грань множества , а условие 2), в свою очередь, означает, что никакое число, меньшее чем С, верхней гранью множества уже не является и, следовательно, число C является наименьшей из верхних граней множества )

Второе определение точной нижней грани:

Число называется точной нижней гранью множества если

1) (⇒ с – нижняя грань ) и

2) (⇒, с учетом j), c – наименьшая нижняя грань ).

( Не всякое числовое множество имеет наибольший, как и наименьший элемент. Так, например, любой интервал не имеет ни наибольшего, ни наименьшего элементов, а обе его точные грани существуют, при этом , а ; любой полуинтервал не имеет наибольшего элемента, но имеет наименьший элемент, а любой полуинтервал имеет наибольший элемент, но не имеет наименьшего.)