Сюрьективные, инъективные и биективные отображения. Обратное отображение

Отображение называется

а) сюръективным или отображением “на”, если ;

b) инъективным или взаимно однозначным отображением «в», если из того, что следует, что (или, равносильно, если из того, что следует, что );

в) биективным или взаимно однозначным отображением «на» или также взаимно однозначным соответствием, если оно одновременно инъективно и сюръективно.

Пусть отображение устанавливает взаимно однозначное соответствие между множествами и , т.е. является биективным. Тогда можно определить новое отображение , полагая, что его образом при отображении является тот единственный элемент , образом которого при отображении является соответствующий элемент : .

Так определенное отображение g называется обратным к отображению и обозначается , т.е. .

Отображение такое, что , , называется тождественным отображением множества в себя.

Непосредственно из определения обратного отображения следует, что

а) обратное отображение биективно;

б) имеют место равенства , т.е. и , т.е. ;

в) обратным к отображению является отображение , т.е. и, следовательно, отображения и являются взаимно обратными.

Если отображение является числовой функцией и имеет обратное отображение , то это обратное отображение называется обратной функцией (к функции ).