Монотонные последовательности. Теорема о пределе монотонной последовательности

Определение 1. Последовательность называется

а) возрастающей, если ;

б) неубывающей, если ;

в) убывающей, если ;

г) невозрастающей, если ;

д) монотонной, если она относится к одному из указанных выше типов а) – г);

е) строго монотонной, если она является либо возрастающей, либо убывающей.

Теорема 1. Всякая ограниченная монотонная последовательность сходится.

Поскольку всякая сходящаяся, и даже необязательно монотонная, последовательность ограничена, то из этой теоремы вытекает такое Следствие. Для того, чтобы монотонная последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченной. Всякая неубывающая последовательность , ограничена снизу (числом ). Следовательно, для ее ограниченности достаточно, чтобы она была ограниченной сверху. Поэтому справедливы следующие уточнения теорема и ее следствия.

Теорема 2. Всякаянеубывающая, ограниченная сверху числовая последовательность сходится, при этом

Следствие. Для того, чтобы неубывающая числовая последовательность была сходящейся необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена сверху. Аналогично, для невозрастающих последовательностей справедливы следующие утверждения:

Теорема 3. Всякаяневозрастающая, ограниченная снизу числовая последовательность сходится, при этом

Следствие. Для того, чтобы невозрастающая числовая последовательность была сходящейся необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена снизу.