Понятие отображения, образ и прообраз множества при отображении, суперпозиция отображений, сужение отображения, график отображения

Пусть и – произвольные множества. Правило , по которому каждому элементу ставится в соответствие определенный, и при том единственный, элемент называется отображением множества во множество , при этом множество называется областью определения отображения , а множество - о бластью значений этого отображения.

Если элемент отображением сопоставляется элементу , то элемент называют образом элемента при отображении или значением отображения в точке и обозначают , при этом пишут , а сам элемент , который отображением сопоставляется элементу, называют прообразом элемента y при отображении .

(Подчеркнем, что образ элемента при отображении (по определению отображения) определяется однозначно, а прообразов элемента при том же отображении может быть несколько. Множество всех прообразов элемента при отображении обозначается ).

Множество называется графиком отображения .

Пусть задано отображение и множество . Определим новое отображение , полагая, что . Так определенное отображение называется сужением отображения на множество (обозначается ).

Образом множества при отображении называют множество .

Отображения и называют равными друг другу и пишут , если и .

Отображение будем называть

а) функцией, если (в частности, отображение , где – произвольное, необязательно числовое множество, является функцией)

б) числовой функцией или функцией одной переменной, если и .

Пусть даны отображения и . Новое отображение , определенное по следующему правилу: называют суперпозицией отображений и .

Суперпозицию отображений и обычно обозначают символом (таким образом, ), при этом если оба отображения и являются функциями, то их суперпозицию называют сложной функцией.