Применение теоремы о пределе монотонной последовательности к вычислению пределов

П р и м е р 1. , если q > 1. Действительно, здесь = , . Поэтому = , (1) а так как = = = < 1, то найдется номер N, такой, что при > N будем иметь и следовательно, при тех же < . Следовательно, если отбросить первые N членов рассматриваемой последовательности, то оставшиеся ее члены будут составлять монотонно убывающую последовательность, которая к тому же ограничена снизу (все ее члены положительные) и в силу этого сходится (теорема 3). Поскольку отбрасывание конечного числа членов последовательности не влияет на ее сходимость, то это означает, что сходится и исходная последовательность.

Найдем теперь ее предел. Пусть . Тогда с учетом равенства (1) будем иметь = = ∙ = . Поэтому = 0 и, следовательно, = 0 □

С л е д с т в и е 1. = 1. Д о к а з а т е л ь с т в о. При фиксированном по доказанному в 1-м примере (здесь ). Поэтому найдется такое, что при будем иметь и, следовательно, при . А тогда при и тем более при .

В силу произвольности это и означает, что = 1 □

С л е д с т в и е 2. = 1 при любом а > 0.

П р и м е р 2. = 0 (здесь - любое действительное число, , )