Предел числовой последовательности. Сходящиеся и расходящиеся последовательности

Число (точка) называется пределом последовательности , если для любого существует такой номер , что для всех натуральных имеет место неравенство .

(Обозначение: , или (а также при ))

Краткое, символическое определение: Û

Геометрическая форма определения предела последовательности:

Интервал = называется - окрестностью точки .

Так как Û Û Û

То Û

Наконец, определение предела числовой последовательности может быть сформулировано следующим образом: Число (точка) называется пределом последовательности , если все ее члены, начиная с некоторого номера, принадлежат любой наперед заданной окрестности точки .

Если числовая последовательность имеет предел, то говорят, что она сходится и называют ее сходящейся. В противном случае, т.е. если она не имеет предела, говорят, что она расходится и называют ее расходящейся.

( Очевидно, что если последовательность сходится (расходится), то сходящейся (расходящейся) будет и последовательность полученная из нее добавлением или исключением из нее конечного числа членов, при этом в случае сходимости исходной последовательности новая последовательность, будет иметь тот же предел, что и исходная.)