Оценка погрешности формулы Лагранжа

Для функции мы построим интерполяционный полином Лагранжа , принимающий в точках , , …, , заданные значения , …, . Возникает вопрос, насколько близко построенный полином приближается к функции в других точках, т. е. как велик остаточный член .

Предположим, что при , содержащем все узлы интерполирования, функция имеет все производные , , …, до (n +1)-го порядка включительно.

Введем вспомогательную функцию (8), где С — постоянный коэффициент, который будет выбран ниже. Очевидно, имеет (n+ 1) корень в точках , , …, . Подберем коэффициент С так, чтобы имела (n+ 2) - й корень в любой фиксированной точке , не совпадающей с узлами интерполирования. Для этого достаточно положить . Так как , то .При этом значении С функция имеет (n +2) корня на отрезке и будет обращаться в нуль на концах каждого из отрезков , , …, , ,…, . Применяя теорему Ролля к каждому из этих отрезков, убеждаемся, что производная , имеет не менее (n +1)-го корня. Применив теорему Ролля к производной , мы убеждаемся, что производная имеет n корней на . Продолжая эти рассуждения, придем к заключению, что на рассматриваемом отрезке производная имеет хотя бы один корень, который обозначим через , т. е. . Из (8), так как и , имеем: . При получаем: . Отсюда , . С другой стороны, , т. е. , то есть . Так как — произвольно, то справедливо

, .

Отсюда, если известна верхняя граница

,

получим оценку для абсолютной погрешности интерполяционной формулы Лагранжа

, .

Формула Лагранжа удобна в задаче интерполирования многих функций в одной точке , т. к. все значения множителей можно вычислить однажды для всех функций. Но формула Лагранжа имеет существенный недостаток. Бывает, что заданное число узлов недостаточно для достижения заданной точности. Тогда к данным узлам добавляют еще один или несколько и выполняют вычисления заново.