Интерполяционный полином Лагранжа

Пусть функция задана таблицей. Построим интерполяционный полином , степени не больше и для которого выполнены условия (3).

Будем искать в виде (5)

где – полином степени , причем

(6)

Требование (6) совместно с (5) обеспечивает выполнение условий (3).

Полиномы составим следующим образом:

(7)

Здесь – постоянный коэффициент, значение которого найдем из первой части условия (6):

Подставим в (7), тогда с учётом (5), интерполяционный полином
Лагранжа будет иметь вид:

(8)

Пример 1. Построить интерполяционный полином Лагранжа для функции, заданной таблицей:

Решение. Из таблицы видно, что , , , т. е. степень интерполяционного полинома не выше, чем вторая. Используя формулу (8) получаем:

Формуле Лагранжа (8) можно придать более сжатый вид.

Обозначим произведение:

Продифференцируем это произведение по :

При () имеем:

Тогда формула Лагранжа примет вид:

Окончательно: (8c)

Полезно рассмотреть два частных случая полинома Лагранжа.

При n = 1 имеем две точки, и формула Лагранжа представляет в этом
случае уравнение прямой , проходящей через две эти точки:

,

где a и b — абсциссы этих точек.

При n = 2 получим уравнение параболы , проходящей через три точки ,

где a, b и с — абсциссы этих точек.