Центральная предельная теорема для последовательности независимо одинаково распределенных величин

Опр. Пусть (Ω,F)исходное измеримое пространство, (X, H)-тоже измеримое пространство. Функция ξ(∙):Ω->X F/H наз-ся измеримой, если выполняется условие {ω: ξ (ω)∊B}∊F, любое B∊H. Если X=R, H=B(R) то ξ-случ. величина. X=R^l, H= R^l, H=B(R^l)-l-мерный случ. вектор.

Опр. ξ₁,…, ξ_n- случ. вектора ξ_j: Ω->R^j j=1….n. Если P{ ξ₁∊B,…, ξ_n∊B}=P{ ξ₁∊B }…{ ξ_n∊B }, то сл. Вектора независимы.

Опр. пусть ξ_j: Ω->R^lj j=1…n независимые случ. вектора

g_j: R^dj->R^mj – борелевские функции, тогда случ. величины g₁(ξ₁),…, g_n(ξ_n) – независимы.

Будем расм. пр-во (R, B(R)). Распределением наз. Функция множеств F(∙), B(R)->[0,1]:

1) F(∙)-σ аддетивна; 2) F(R)=1

Опр. Говорят, что последовательность распределений F_n слабо сходится к распределению F, если

при любой непрерывной и огранич функции g.

Обознач. F_n=>F

Опр. Пусть ξ-случ величина определена на вероятностном пространстве (Ω, F, P), а ξ_n-величина на вероятностном пространстве (Ω_n, F_n, P_n), n∊N, тогда говорят, что последовательность случ величин ξ_n слабо сходится к случайной величине ξ, ξ_n=> ξ ó F_ξ (при этом случ величины могут быть заданы на разных вероятностных пространствах, а распределения заданы на одном)

Теорема(центральная предельная теорема)

Пусть ξ₁,…,ξ_n независимые, одинаково распределенные случ величины и такие что Mξ_n=0, а Dξ_n=1, тогда последовательность таких случайных величин: слабо сходится к нормальному распределению с параметрами N(0,1)

По другому:

Утв: если случ величина ξ имеет Mξ=0 и Dξ=1 |=>

φ_ξ(t)=1- |ε(t)|≤2, =0

Свойство: если ξ, η - независимые случайные величины |=> φ_ξ+η(t)=φ_ξ(t) φ_η(t)

Док-во: φ_ξ+η(t)=Me^it(ξ+η)= Me^itξ e^itη= φ_ξ(t) φ_η(t)

Док-во (теоремы):

Расм характеристическую функцию суч величины = ( вынесли под ∑ тогда получим П характеристич функц)= по определению характеристической функции = =

Все они одинаково распределены, распределение совпадает, значит совпадает характеристические функции

= а это характеристическая функция с параметрами 0,1 N(0,1)

Так как N(a,σ²)

Если N(0,1),