Сходимость по вероятности и сходимость почти наверное. Закон больших чисел

Определение: говорят, что последовательность случайных величин сходится по вероятности(обозначается P_lim) к случайной величине ξ, если выполнено следующее условие:

Определение: говорят, что последовательность случайных величин сходится к случайной величине ξ почти наверное(или с вероятностью 1), если выполнено:

Определение: говорят, что последовательность случайных величин удовлетворяет закону больших чисел, если:

, где - мат. ожидание

Если вместо сходимости по вероятности взять сходимость почти наверное, то говорят, что последовательность случайных величин удовлетворяет усиленному закону больших чисел

Теорема Чебышева (без доказательства): Пусть задана последовательность независимых случайных величин , для которых ограничено, а , где C>0 – некоторая константа. Тогда последовательность случайных величин удовлетворяет Закону Больших Чисел.

Теорема Колмогорова (без доказательства): Пусть дана последовательность независимых случайных величин, для которых , Тогда последовательность удаляет Усиленному Закону Больших Чисел.

Теорема Бернулли (без доказательства): Пусть имеется вероятностное пространство (Ω,𝕱,Ρ), которому соответствует стохастический эксперимент H, и пусть А – наблюдаемое в эксперименте событие, - частота наблюдаемого события в серии из n повторений эксперимента H. Тогда

Теорема Борелли (без доказательства): В условии теорема Бернулли имеет место сходимость почти наверное

Математическое ожидание: - функция распределения случайной величины X

Дисперсия случайной величины: