Погрешность квадратурных формул

Один из возможных способов оценки точности построенных формул состоит в следующем. Рассмотрим интеграл по элементарному отрезку:

Выберем на этом отрезке какую-либо «опорную» точку x = z и разложим подынтегральную функцию в ряд по формуле Тейлора относительно этой точки:

— остаточный член используемой формулы Тейлора.

Вычисляя интеграл от последней суммы, получаем представление в виде:

где коэффициенты A, B, … зависят от значения производных в точке z:

Заметим далее, что каждая из рассматриваемых квадратурных формул (прямоугольников, трапеций и Симпсона) в пределах элементарного отрезка может быть представлена следующим образом:

со своими коэффициентами r, s, q.

Заменяя в (3.10) каждое из значений функции f по формуле Тейлора относительно той же точки z, получим представление приближенного значения в виде, аналогичном (3.9):

Сравнивая представления (3.9) и (3.11), обнаруживаем, что кроме первых слагаемых в (3.9), (3.11) совпадает еще некоторое количество (p – 1) слагаемых, так что … Несовпадающие слагаемые характеризуют ошибку квадратурной формулы. Оценивая величины этих слагаемых, приходим к оценке для локальной (на интервале ) погрешности

где D — числовая константа, а — p -я производная функции f(x).

Суммируя локальные погрешности по всем интервалам, получим требуемую оценку погрешности

рассматриваемой формулы интегрирования:

где по всему отрезку [ a, b ] (если шаг интегрирования не постоянен, т.e.

то ).

Степень p в (3.12) принято называть порядком точности квадратурной формулы.

Для рассмотренных квадратурных формул полученные таким образом оценки погрешности имеют вид:

— для формулы прямоугольников;

— для формулы трапеций;

— для формулы Симпсона в случае, когда используются узлы с дробным индексом (3.8) и

— для (3.8а).

Замечание 1. Для формулы трапеций приведенную оценку можно было бы получить, интегрируя по элементарным отрезкам выражение для остаточного члена соответствующего интерполяционного полинома.

Замечание 2. Полученные оценки погрешности, как следует из их вывода, зависят от гладкости подынтегральной функции. Например, при наличии 4-х (и выше) производных y формула Симпсона обеспечивает 4-й порядок точности. Если же только трижды непрерывно дифференцируема на [ a, b ], то точность формулы Симпсона на порядок уменьшается.

Если известны оценки для абсолютных величин соответствующих производных, то, используя (3.12), можно a priori (до проведения расчета) определить шаг интегрирования h = const, при котором погрешность вычисленного результата гарантировано не превышает допустимого уровня погрешности e. Для этого, как следует из (3.12), достаточно решить относительно h неравенство

Однако типичной является ситуация, когда величины нужных производных не поддаются оценке. Тогда контроль за точностью вычисляемых результатов можно организовать, проводя вычисления на последовательно сгущающейся сетке узлов интегрирования.

14.3 Правило Рунге.

Правило Рунге — правило оценки погрешности численных методов.

Основная идея состоит в вычислении приближения выбранным методом с шагом h, а затем с шагом h/2, и дальнейшем рассмотрении разностей погрешностей для этих двух вычислений.

Интеграл I вычисляется по выбранной формуле (прямоугольников, трапеций, парабол Симпсона) при числе шагов, равном n, а затем при числе шагов, равном 2n. Погрешность вычисления значения интеграла при числе шагов, равном 2n, определяется по формуле Рунге:

для формул прямоугольников и трапеций , а для формулы Симпсона .

Таким образом, интеграл вычисляется для последовательных значений числа шагов , где n₀ — начальное число шагов. Процесс вычислений заканчивается, когда для очередного значения N будет выполнено условие , где ε — заданная точность.