Оценка погрешности интерполяции

Погрешность интерполяции (остаточный член): . В узлах интерполирования он равен 0. В других точках он вообще-то не известен, если не известна функция f(x). Но его можно оценить, если f(x) достаточно гладкая функция.

Пусть – произвольная, несовпадающая с узлом, точка, зафиксируем ее и рассмотрим функцию от переменной s:

Она обращается в нуль при -всего в (n+2)-ух точках. По теореме Ролля между двумя корнями гладкой функции есть корень производной => функция имеет по крайней мере (n+1) корней. То есть, => дифференцируя формулу (Gs) (n+1) раз по s, получим, что в этой точке выполняется

Итого, мы получили, что для любой точки существует ( зависит от x) такая, что

Формула (1) называется формулой погрешности интерполяции. От можно избавиться, если взять максимум производной, тогда получим оценку погрешности интерполяции:

Отсюда видно, что погрешность зависит от самой функции (от ), от количества точек интерполяции (от n) и от их расположения (от ). Если производные у функции равномерно ограничены (например, ), то с ростом n погрешность интерполяции будет быстро стремиться к нулю.