Формула трапеций

На элементарном отрезке заменим подынтегральную функцию интерполяционным полиномом первой степени:

Выполняя интегрирование на отрезке, приходим к локальной формуле трапеций:

Замечание. Название формулы связано с тем, что интеграл по элементарному отрезку заменяется площадью трапеции с основаниями, равными значениям f(x) на краях отрезка, и высотой, равной _.

Суммируя (3.4) по всем отрезкам, получаем формулу трапеций для вычисления приближения к I:

В случае постоянного шага интегрирования формула принимает вид:

14.4 Формула Симпсона

На элементарном отрезке используя значение функции в центре отрезка, заменим подынтегральную функцию f(x) интерполяционным полиномом второй степени:

Напомним, что мы обозначили: а значение в полуцелой точке

Вычисляя интеграл от полинома на отрезке приходим к локальной формуле Симпсона:

Суммируя (3.6) по всем отрезкам, получаем формулу Симпсона для вычисления приближения к I:

Для постоянного шага интегрирования
формула Симпсона принимает вид

Замечание. Последнюю формулу иногда записывают без использования дробных индексов, в виде

К этой записи приходим, если под локальной формулой понимать результат интегрирования по паре элементарных отрезков:

где — интерполяционный полином второй степени для f(x) на построенный по значениям в точках . Суммируя локальные приближения по всем парам, получим (3.8а). Разумеется, число пар на [ a, b ] в этом случае должно быть целым, т. е. N — четным.

Формулы, используемые для приближенного вычисления интеграла, называются квадратурными.