![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
На элементарном отрезке заменим подынтегральную функцию интерполяционным полиномом первой степени:
Выполняя интегрирование на отрезке, приходим к локальной формуле трапеций:
Замечание. Название формулы связано с тем, что интеграл по элементарному отрезку заменяется площадью трапеции с основаниями, равными значениям f(x) на краях отрезка, и высотой, равной .
Суммируя (3.4) по всем отрезкам, получаем формулу трапеций для вычисления приближения к I:
В случае постоянного шага интегрирования формула принимает вид:
14.4 Формула Симпсона
На элементарном отрезке используя значение функции в центре отрезка, заменим подынтегральную функцию f(x) интерполяционным полиномом второй степени:
Напомним, что мы обозначили: а значение в полуцелой точке
Вычисляя интеграл от полинома на отрезке приходим к локальной формуле Симпсона:
Суммируя (3.6) по всем отрезкам, получаем формулу Симпсона для вычисления приближения к I:
Для постоянного шага интегрирования
формула Симпсона принимает вид
Замечание. Последнюю формулу иногда записывают без использования дробных индексов, в виде
К этой записи приходим, если под локальной формулой понимать результат интегрирования по паре элементарных отрезков:
где — интерполяционный полином второй степени для f(x) на
построенный по значениям в точках
. Суммируя локальные приближения по всем парам, получим (3.8а). Разумеется, число пар на [ a, b ] в этом случае должно быть целым, т. е. N — четным.
Формулы, используемые для приближенного вычисления интеграла, называются квадратурными.
Дата публикования: 2015-01-26; Прочитано: 370 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!