Характеристическая функция случайной величины

Определение: пусть (Ω,F)-измеримое пространство, (Х, Н)-тоже измеримое пространство. Функция ξ(∙): Ω->Х называется F|H измеримой, если выполняются следующие условия:

{ω: ξ(ω)∊B} ∊ F, любое B∊H. Если Х=R, H=B(R), то ξ – случайная величина.

Определение: Пусть x и h — некоторые случайные величины, а i = мнимая единица. Тогда z = x + ih будет называться комплекснозначной случайной величиной.

Mz = Mx + iMh.

Определение: Пусть x - некоторая случайная величина. Характеристической функцией случайной величины x называется комплекснозначная функция действительного аргумента t:

j_x (t) = М = Мcos(tx) + i×Msin(tx), t Î R.

j_x (t) = = .

Если x дискретная случайная величина, то , где Х_x - счётное множество значений x.

Пример: x Î N(а,s²). Покажем, что j_x (t) = . Возьмём hÎ N(0,1).

j_h (t) = .

j^/_h(t) = = этот интеграл сходится; = + i²×

u = ; dv = x ; 0

v = - ; du = it ;

j^/_h (t) = -t×j_h (t). Þ j_h (t) = . (1)

x Î N(а,s²). Þ h = Î N(0,1).

F_h (x) = P{h £ x} = P £ x = P {x £ a + sx} = F_x (a + sx).

f_h(x) = f_x(a + sx)×s = , так как f_x(x) = ; hÎ N(0,1) Þ x=а + shÎ N(а,s²).

j_x(t) = j_а+sh(t) = М = j_h(st) = . (по равенству (1)).

Свойства характеристической функции.

1) j_x(0) = 1, |j_x(t)| £ М| | = 1, j_x(-t) = = j_-x(t).

2) Характеристическая функция равномерно непрерывна на всей числовой оси.

Доказательство: |j_x(t+h) - j_x(t)| £ M| | = M| -1|, | -1| £ 2.

Рассмотрим |j_x(t+h) - j_x(t)| £ = 0, что и требовалось доказать.

3) Характеристическая функция не отрицательно определена.

" n - натурального; " t₁,..., t_nÎ R; " z₁,..., z_nÎ C

= = M = M ³ 0.

4) Пусть x- случайная величина: М|x|ⁿ < ¥ Þ -абсолютный момент n-ого порядка конечен.Þ М|x|^p < ¥ "p£n - тоже конечен. (0) = i^k×Mx^k, " k £ nÎN.

Доказательство: j_x(t) = . = i^k×

M|x|^k, что и требовалось доказать.

5) Характеристическая функция однозначно определяет распределение случайной величины.

j_x(t) = . .

Характеристическая функция нормального распределения.

Характеристическая функция нормального распределения имеет вид

j_x (t)=E{ e^itξ }=exp(iμt - (σ² * t²) / 2),

где ξ~N(μ,σ²) – нормально распределенная с параметрами μ(мат ожидание) и σ(дисперсия) случайная величина.