Постановка задачи интерполирования

На отрезке [ a,b ] заданы точки , которые называются узлами
интерполяции, и значения некоторой функции f (x) в этих точках

…, . (1)

Для удобства поместим их в таблицу

			…
			…

Требуется построить функцию F (x) (интерполирующая функция), принимающую в узлах интерполяции те же значения, что и f (x), т. е. такую, что

, , …, . (2)

Геометрически это означает, что нужно найти кривую y = F (x) определенного типа, проходящую через заданную систему точек ,

В такой общей постановке задача может иметь бесчисленное множество решений или совсем не иметь решений. Однако эта задача становится однозначно разрешимой, если вместо произвольной функции F (x) искать полином
степени не выше n, удовлетворяющий условиям (2), т. е. такой, что

(3)

Докажем это. Равенства (3) представляют собой линейную систему (n +1) алгебраических уравнений вида:

(4)

с (n+ 1)неизвестными .

Определителем этой системы является определитель Вандермонда

который отличен от нуля, так как узлы — различны. Следовательно, система (3) имеет единственное решение при любых правых частях , т. е. коэффициенты интерполяционного многочлена находятся однозначно.

Интерполяционные формулы обычно используют для приближенного вычисления значений данной функции f (x) для значений аргумента x, отличных от узлов интерполирования. Такая операция называется интерполированием.