Способы конструирования квадратурных формул

Рассмотрим простейшие, но широко используемые в практических вычислениях формулы: прямоугольников (с центральной точкой), трапеций, Симпсона. Способ их получения состоит в следующем. Разобьем отрезок интегрирования [a,b] на N частей точками .

Положим, что так что

В дальнейшем будем называть – узлами, — шагами интегрирования. Иногда отрезок от до будем именовать элементарным отрезком. В частном случае шаг интегрирования может быть постоянным: . Также будем использовать обозначение .

После введения шагов интегрирования искомый интеграл можно представить в виде

где

14.2 Формула прямоугольников

Считая малым параметром, заменим в (3.1) площадью прямоугольника с основанием и высотой _. Тогда придем к локальной формуле прямоугольников

Суммируя в соответствии с (3.1) приближенные значения по всем элементарным отрезкам, получаем формулу прямоугольников для вычисления приближения к I:

В частном случае, когда формула прямоугольников принимает вид

Можно конструировать аналогичные формулы, используя в качестве высоты элементарных прямоугольников значениеf(x) не в середине отрезка, а на границе (левой или правой). Но в этом случае существенно ухудшается точность приближения вычисляемого интеграла.