ВОПРОС 9 (2)

2.9 Коэффициент корреляции. Независимые случайные величины

Две случайные величины ξ и η могут быть функционально зависимы: ξ = g(η). Могут быть зависимы нефункционально. И, наконец, могут быть независимы. Коэффициент корреляции двух величин есть число, с помощью которого пытаются количественно охарактеризовать степень зависимости двух случайных величин друг от друга.

Определение: случайная величина ξ называется нормированной, если Mξ=0 и Dξ=1. Любую случайную величину ξ можно линейным преобразованием привести к нормированной, полагая

Определение: Пусть ξ и η - случайные величины, ξ₁ и η₁ – соответствующие им нормированные случайные величины. Коэффициентом корреляции между случайными величинами ξ и η называется число .

Свойства коэффициента корреляции:

1.

Действительно:

2. Если ξ и η независимы, то .

Следует из того, что ξ₁ и η₁ при этом также независимы. Обратное утверждение не всегда верно. Для нормально распределённых величин равенство нулю корреляции является необходимыми и достаточным условием независимости двух величин

3. тогда и только тогда, когда существуют такие числа a и b, не равные нулю, что P(η=a+bξ) =1

Доказательство: Пусть P(η=a+bξ) =1. Обозначим . Тогда:

Предположим теперь, что . Пусть, например, . Тогда:

.

По свойству дисперсии, это может быть только тогда, когда P(ξ₁ - η₁ = c) = 1.

Если то, рассмотрев , получим P(ξ₁ + η₁ = c) = 1.

Если , то случайные величины ξ и η называются положительно коррелированными, если , то случайные величины ξ и η называются отрицательно коррелированными.

Будем считать, что дано фиксированное вероятностное пространство .

Определение 1. Два события независимы, если

Вероятность появления события A не меняет вероятности события B.

Замечание 1. В том случае, если вероятность одного события, скажем , ненулевая, то есть , определение независимости эквивалентно:

то есть условная вероятность события при условии равна безусловной вероятности события .

Определение 2. Пусть есть семейство (конечное или бесконечное) случайных событий , где — произвольное индексное множество. Тогда эти события попарно независимы, если любые два события из этого семейства независимы, то есть

Определение 3. Пусть есть семейство (конечное или бесконечное) случайных событий . Тогда эти события совместно независимы, если для любого конечного набора этих событий верно:

Замечание 2. Совместная независимость, очевидно, влечет попарную независимость. Обратное, вообще говоря, неверно.

Пример 1. Пусть брошены три уравновешенные монеты. Определим события следующим образом:

· A1: монеты 1 и 2 упали одной и той же стороной;

· A2: монеты 2 и 3 упали одной и той же стороной;

· A3: монеты 1 и 3 упали одной и той же стороной;

Легко проверить, что любые два события из этого набора независимы. Все же три в совокупности зависимы, ибо зная, например, что события произошли, мы знаем точно, что также произошло.